¿Cómo calcular la función característica de una variable aleatoria de Poisson compuesta?

Question

Sea $\phi_X(t)$ la función característica de $X$. Sea $N$ una variable aleatoria de Poisson con media $1$ y $(X_i)_{\in\mathbb{N}}$ sean copias i.i.d. de $X$. ¿Cómo derivar entonces la función característica de $S=\sum_{i=1}^NX_i$?

Mis intentos: $\phi_S(t)=E(e^{it\sum_{i=1}^NX_i}).$ ¿Cómo continuar?

Answer 1

Pista: Utiliza que $(X_i)_i$ y $N$ son independientes:

$$\mathbb{E}e^{\imath \, t S} = \mathbb{E} \left( \sum_{n \geq 0} e^{\imath \, t \sum\limits_{j=1}^n X_j} 1_{\{N=n\}} \right) = \sum_{n \geq 0} \mathbb{E} \left(e^{\imath \, t \sum\limits_{j=1}^n X_j} \right) \cdot \mathbb{P}(N=n).$$

Solución: $$\begin{align*} \mathbb{E}e^{\imath \, tS} &= \sum_{n \geq 0} \underbrace{\phi_X(t)^n}_{\mathbb{E}e^{\imath \, t \sum_{j=1}^n X_j}} \cdot \underbrace{e^{-1} \frac{1}{n!}}_{\mathbb{P}(N=n)}= e^{\phi_X(t)-1}. \end{align*}$$