Resolviendo una desigualdad que involucra el techo.

Question

Tenemos esta desigualdad :

$$\lfloor x+1 \rfloor < \sqrt x +1. $$

Quiero encontrar una manera algebraica de resolver esta desigualdad. (no una solución geométrica)

Nota : Es obvio que cuando $x \in \Bbb Z$ tenemos $0

Answer 1

Tenga en cuenta que $\lfloor x+1 \rfloor =\lfloor x \rfloor +1$. Sea $n=\lfloor x \rfloor\in\mathbb{N}$ (de lo contrario la raíz cuadrada no está definida) y $r=x-n\in[0,1)$. Entonces la desigualdad $\lfloor x+1 \rfloor < \sqrt x +1$ se convierte en $$n<\sqrt{n+r}\quad \Leftrightarrow\quad n^2

Por otro lado, el lado derecho es $0\leq r<1$.

Por lo tanto, la desigualdad se satisface para $n=0$, $n=1$ y cualquier $r\in(0,1)$, es decir para $$x=n+r\in (0,1)\cup (1,2).$$

Answer 2

Pista

Sea $k\geq 2$ y resuelve en $(k,k+1)$.

la ecuación se convierte en

$k+1<\sqrt{x}+1$ o $x>k^2>k+1$

$\implies x\notin (k,k+1)$.

Answer 3

Para mostrar otra posible forma, tenemos que $$ \begin{array}{l} \left\lfloor {x + 1} \right\rfloor < \sqrt x + 1 \\ \left\lfloor x \right\rfloor < \sqrt x \\ x - \left\{ x \right\} < \sqrt x \quad \left| {0} \right. \le \left\{ x \right\} < 1 \\ x - 1 < x - \left\{ x \right\} < \sqrt x \\ \end{array} $$ donde $ \left\{ x \right\}$ representa la parte fraccional de $x$.
Para que la última cadena de desigualdades se cumpla, y dado que $x$ debe ser no negativo, debemos tener: $$ \left\{ \begin{array}{l} x - 1 < \sqrt x \\ 0 \le x \\ \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad 0 \le x < 1\;\; \vee \;\;\left\{ \begin{array}{l} x^{\,2} - 3x + 1 < 0 \\ 1 < x \\ \end{array} \right. $$ porque para $0 \leqslant x<1$ la desigualdad original se cumple, para $x=1$ no se cumple, y para $1 Dado que las soluciones de la ecuación cuadrática son $$ \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \approx 0.38,\;2.62 $$ y el menor es menor que $1$, tomamos solo el mayor como límite superior para $x$. Debido al "apretón" $ x - 1 < x - \left\{ x \right\} < \sqrt x $, que asegura que el original $$ x - \left\{ x \right\} < \sqrt x $$ no tiene soluciones fuera del rango $0 < x < \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} $, lo que significa $ 0 \leqslant \left\lfloor x \right\rfloor \leqslant 2$. Y porque $$ \left[ {\begin{array}{*{20}c} {1 < x < 2} & {\left\lfloor x \right\rfloor = 1 < \sqrt x } \\ {2 \le x < \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} & {\left\lfloor x \right\rfloor = 2 > \sqrt x } \\ \end{array}} \right. $$ finalmente obtenemos que $$ \left\lfloor {x + 1} \right\rfloor < \sqrt x + 1\quad \Rightarrow \quad 0 < x < 1\;\; \vee \;\;1 < x < 2 $$