Cada secuencia convergente semanal está acotada

Question

Teorema: Toda secuencia débilmente convergente en X está acotada.

Sea $\{x_n\}$ una secuencia débilmente convergente en X. Sea $T_n \in X^{**}$ definida por $T_n(\ell) = \ell(x_n)$ para todo $\ell \in X^*$. Fije un $\ell \in X^*$. Para cualquier $n \in \mathbb{N}$, como la secuencia $\{\ell(x_n)\}$ es convergente, $\{T_n(\ell)\}$ es un conjunto acotado. Por el Principio de Acotamiento Uniforme $ \sup_{n \in \mathbb{N}} \|x_n\| = \sup_{n \in \mathbb{N}} \|T_n\| < \infty,$ es decir, $\{x_n\}$ está acotada.

Mi pregunta es: ¿por qué $ \sup_{n \in \mathbb{N}} \|x_n\| = \sup_{n \in \mathbb{N}} \|T_n\|$?

Answer 1

La igualdad $\|x_n\|=\|T_n\|$ es una instancia del hecho de que la incrustación canónica en el segundo dual es una isometría.

Ver también La convergencia débil implica acotamiento uniforme que se establece para $L^p$ pero la demostración funciona para todos los espacios de Banach.

Answer 2

Una forma de pensar en esto es recordar la siguiente 'propiedad de dualidad' para las normas, que se cumple para cualquier espacio normado $(X,\lVert{\cdot}\rVert)$:

$$ \forall x \in X: \lVert x \rVert = \sup_{\lVert f\rVert_*=1} \lvert f(x) \rvert $$

$$ \forall f \in X^*: \lVert f \rVert_* = \sup_{\lVert x\rVert =1} \lvert f(x) \rvert $$

donde la segunda igualdad es casi una tautología, dependiendo de tu definición de la norma dual $\lVert \cdot \rVert_*$ y la primera igualdad es una consecuencia del Teorema de Hahn-Banach y es un ejercicio bastante fácil. A partir de esto, el hecho de que $\lVert T_x \rVert_{**} \equiv \lVert x \rVert$ es bastante obvio: $$ \lVert T_x \rVert_{**} = \sup_{\Vert f \Vert_* = 1} \vert T_x(f) \vert = \sup_{\Vert f \Vert_* = 1} \vert x(f) \vert = \lVert x \rVert$$