Estoy aprendiendo de Jackson (3ra edición), donde encontré un concepto muy confuso, que es la expansión de Taylor de la densidad de carga. (Esto se da en la sección "1.7 Ecuaciones de Poisson y Laplace" p.n:35)
Voy a escribir algunas ecuaciones primero.
$$ {\Phi}_a(x) = \frac{1}{4{\pi}{\epsilon_0}}\int \frac{{\rho}(x')}{\sqrt{(x - x')^2 + a^2}}d^3x' $$
Ahora queremos encontrar el potencial de modo que a tienda a cero. $$ \nabla^2{\Phi}_a(x) = \frac{1}{4{\pi}{\epsilon_0}}\int{\rho}(x') \nabla^2\frac{1}{(r^2 + a^2)^\frac{1}{2}}d^3x' $$
$$ \nabla^2{\Phi}_a(x) = -\frac{1}{4{\pi}{\epsilon_0}}\int{\rho}(x') \frac{3a^2}{(r^2 + a^2)^\frac{5}{2}}d^3x' $$
Entendí hasta el paso anterior, pero ahora no entendí el siguiente paso.
$$ \nabla^2{\Phi}_a(x) = -\frac{1}{{\epsilon_0}}\int_0^R \frac{3a^2}{(r^2 + a^2)^\frac{5}{2}} \left[{\rho}(x) + \frac{r^2}{6}\nabla^2{\rho} + ....... \right]r^2 dr + O(a^2) $$
Jackson dice que vamos a expandir ${\rho}(x')$ alrededor de x' = x, pero la expansión de ${\rho}(x')$ también debe contener la derivada de primer orden de ${\rho}(x')$ como $\nabla{\rho}$, además la expansión de Taylor del segundo término debería contener 2 en el denominador pero es 6, y cómo el último término de $O(a^2)$
Así que lo que estoy pensando es que la expansión de Taylor debería ser $\left[{\rho}(x) + r\nabla{\rho} + \frac{r^2}{2}\nabla^2{\rho}\right]$
Sé que estoy equivocado pero no sé cuál es la respuesta. Cualquier ayuda es apreciada.
