Valores propios de la suma de dos matrices: una diagonal y la otra no.

Question

Empiezo con una observación simple: si $A$ es una matriz $n \times n$ y $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}$ son sus eigenvalores, entonces los eigenvalores de la matriz $I + A$ (donde $I$ es la matriz identidad) son $\{\lambda_1+1,\ldots,\lambda_k+1\}$. Además, si $\alpha\in\mathbb R$, los eigenvalores de $\alpha I+A$ son $\{\lambda_1+\alpha,\ldots,\lambda_k+\alpha\}.

¿Existen resultados más generales para este tema? Específicamente, si $A$ es una matriz $n \times n$ y $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}$ son sus eigenvalores, ¿cuáles son los eigenvalores de $A+D$ (donde $D$ es una matriz diagonal)?

Editar (Primero): Me pregunto si la solución se conoce en el caso en que la suma de los elementos de cada fila de $A$ es $0$ y todas las entradas de $D$ están entre $0$ y $1$.

Editar (Segundo): Me pregunto si la solución se conoce cuando la suma de los elementos de cada fila de $A$ es $0$ y $D=\operatorname{diag}(1, 0,\dots,0)$.

Answer 1

Dos matrices diagonalizables $A$ y $B$ conmutarán si son diagonalizables simultáneamente; es decir, podemos escribir $$A = P^{-1} D_A P$$ y $$B=P^{-1} D_B P$$ donde $D_A$ y $D_B$ son diagonales, y los elementos de $D_A$ y $D_B$ representan los autovalores de $A$ y $B$, respectivamente.

Señalado por Ian en los comentarios, una matriz no diagonalizable conmuta con algunas matrices, en particular consigo misma.

Ahora, observa lo siguiente para $A$ y $B$ simultáneamente diagonalizables: $$A+B = P^{-1}D_AP + P^{-1}D_BP=P^{-1}(D_A+D_B)P.$$ Consecuentemente, los autovalores de $A+B$ son dados por los elementos en la diagonal de $D_A+D_B$.

Nota: considerando tu ejemplo, $A$ y $B=\alpha I$, $A$ y $B$ son diagonalizables simultáneamente.

Nota adicional: Es importante reconocer que para el caso general que he mencionado, hay cierta ambigüedad acerca de cuáles son exactamente los autovalores. Más precisamente, la igualdad $$\lambda_{A+B,i} = \lambda_{A,i}+\lambda_{B,i}$$ no se cumple en general. Sin embargo, dado un $\lambda_{A+B,i}$, siempre es posible encontrar un $\lambda_{A,j}$ y un $\lambda_{B,k}$ tal que $$\lambda_{A+B,i} = \lambda_{A,j}+\lambda_{B,k}.$$ No estoy seguro si alguien más puede profundizar en esto.

Answer 2

No hay una respuesta precisa a tu pregunta. De hecho, sean $A,B\in M_n(\mathbb{C}),spectrum(A)=(a_i),spectrum(B)=(b_i),spectrum(A+B)=(c_i)$. Entonces los posibles valores de $(a_i,b_i,c_i)$ son densos en el conjunto $\sum_i a_i+\sum_i b_i=\sum_i c_i$. Dado que razonamos por densidad, podemos suponer que $B$ es la diagonal $D=diag((b_i))$. Si $A,B$ son reales, entonces debemos agregar el hecho de que los eigenvalores de las matrices consideradas son reales o conjugados entre sí. Ahora no creo que tu condición $A.vect(1)=0$ agregue información útil.

EDICIÓN. Sobre el post de David. Sean $A,B\in M_n(\mathbb{C}),spectrum(A)=(a_i),spectrum(B)=(b_i)$; si $AB=BA$, entonces hay una permutación de los $(b_i)$ tal que, para cada $u,v\in\mathbb{C}$, $spectrum(uA+vB)=(ua_i+vb_i)$.

Prueba. $A,B$ son simultáneamente triangularizables.

Answer 3

No estoy seguro si lo que motiva tu pregunta es lo mismo que tengo en mente, pero al menos aquí tienes una respuesta para tu pregunta en el caso en que la matriz $A$ es simétrica, semidefinida positiva, satisface $\text{núcleo}(A)=\text{span}\{\textbf{1}\}$ y $D=\text{diag}([0,0,..,0,d_i,0...,0])$ con $d_i>0$, lo cual es similar a lo que tienes.

Dado que $A$ y $D$ son simétricas, el menor valor propio de $(A+D)$ está dado por

\begin{equation} \lambda_{min}=\min_{z:z^\top z=1} z^\top(A+D)z=\min_{z:z^\top z=1} z^\top Az+z^\top Dz \end{equation}

Dado que $A$ y $D$ son P.S.D, tenemos que $z^\top Az\geq0$ y $z^\top Dz\geq0$ para todo $z$. Además, dado que $núcleo(A)=span\{\mathbf{1}\}$, el término $z^\top Az\geq0$ solo puede ser cero si $z\in\text{span}\{\mathbf{1}\}$, pero para cualquier $z\in\text{span}\{\mathbf{1}\}$ tenemos que $z^\top Dz>0$ ya que $D$ es diagonal con al menos una entrada positiva. Por lo tanto tenemos que $\lambda_{min}>0.

El mismo razonamiento se puede usar para encontrar un límite superior en $\lambda_{max}$.