Caminata aleatoria unidimensional con posibilidad de quedarse quieto

Question

Tengo algunos problemas con la siguiente pregunta:

Considera una caminata aleatoria en 1D donde hay una probabilidad de $\frac{p}{2}$ de caminar hacia la derecha, una probabilidad de $\frac{p}{2}$ de caminar hacia la izquierda y una probabilidad de $q=1-p$ de no moverse en absoluto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de caminar $n$ (de un total de $N$) pasos hacia la derecha?

Por supuesto, hay más ítems para responder, pero todos dependen de este. Hasta ahora, he llegado a la fórmula general

$\frac{N!}{N_1! N_2! N_3!} \left(\frac{p}{q}\right)^{N_1} \left(\frac{p}{q}\right)^{N_2} (1-p)^{N_3}$

pero he estado intentando por un tiempo y realmente no puedo encontrar una forma de escribir esta fórmula como una función del número de pasos hacia la derecha $N_1$ y el número total de pasos $N$.

¿Alguien me puede echar una mano?

¡Gracias!

Answer 1

No estoy seguro si estás preguntando si la posición neto está exactamente a $n$ pasos a la derecha de la posición inicial o si se han tomado exactamente $n$ pasos a la derecha en total. Creo que es lo segundo, en cuyo caso puedes razonar de la siguiente manera (asumiendo pasos independientes):

Tenemos que para $l$ pasos a la izquierda, $r$ pasos a la derecha y $s$ "pasos" estacionarios ($l + r + s = N$), la probabilidad para cualquier orden dado de estos pasos es:

$$ \left (\frac{p}{2} \right)^l \left (\frac{p}{2} \right)^r \left (1-p \right)^s$$

Para tener en cuenta todas las posibles órdenes, multiplicamos por el coeficiente multinomial $\binom{N}{l,r,s}$ y obtenemos:

$$Pr(L =l, R=r,S=s) = \binom{N}{l,r,s}\left (\frac{p}{2} \right)^l \left (\frac{p}{2} \right)^r \left (1-p \right)^s$$

Esto es exactamente la distribución multinomial.

Ahora, fijando $r = n$ queremos la probabilidad:

$$\sum_{l=0}^{N-n}\binom{N}{l,n,N-n-l}\left (\frac{p}{2}\right )^l\left (\frac{p}{2} \right)^n(1-p)^{N-n-l} $$

Según Wolfram Alpha esta suma es:

$$\binom{N}{N-n}\left (\frac{(1-p)(p-2)}{2(p-1)} \right)^N \left (\frac{p(p-1)}{(1-p)(p-2)} \right)^n$$

No conozco un método general para resolver tales sumas.