La integral de Lebesgue de una función integrable es continua

Question

Sea $a\in \mathbb{R}$ fijo y $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función integrable de Lebesgue. Define $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ por $$F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t$$ para todo $t\in \mathbb{R}$. Demuestra que $F$ es continua.

Usando la definición de continuidad que involucra sucesiones convergentes, para $x_0\in \mathbb{R}$ tomo cualquier sucesión $\lbrace x_n \rbrace$ tal que $x_n \rightarrow x_0$ a medida que $n\rightarrow \infty$. Entonces necesito probar que $F(x_n)\rightarrow F(x)$, es decir, $$\lim_{n\to \infty}\int_a^{x_n}f(t)\mathrm{d}t=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t$$

Sé que, si $m$ es la medida de Lebesgue, entonces $$\lim_{n\to \infty}\int_a^{x_n}f(t)\mathrm{d}t=\lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}\chi_{[a,x_n]}f\mathrm{d}m$$

Dado que $f$ es integrable por hipótesis, esto implica que $|f|$ también es integrable. Por el Teorema de Convergencia Dominada, $|\chi_{[a,x_n]}(t)f(t)|\leq |f(t)|$, por lo que intercambiamos el límite e integral: $$\lim_{n\to \infty}\int_a^{x_n}f(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\to \infty}\chi_{[a,x_n]}f\mathrm{d}m$$

Si puedo demostrar que $\lim_{n\to \infty}\chi_{[a,x_n]}(t)=\chi_{[a,x_0]}(t)$, entonces habré terminado, pero esto no es inmediatamente obvio para mí, ni tampoco tengo una prueba de ello.

Answer 1

Si $x_n\to x_0$, entonces para cualquier $a\leq t < x_0, \exists N\in \mathbb{N}$ tal que $$ t< x_n \quad\forall n>N $$ y por lo tanto $\chi_{[a,x_n]}(t) = 1$ para todo $n>N$. De manera similar, para $t>x_0, \exists M\in \mathbb{N}$ tal que $\chi_{[a,x_n]}(t) = 0$ para todo $n>M$. Dado que el conjunto unitario $\{x_0\}$ tiene medida cero, se puede concluir que $$ \lim \chi_{[a,x_n]} \to \chi_{[a,x_0]} \text{ a.e.} $$ y así aplica la convergencia dominada como mencionas.

Answer 2

Apela al Teorema de Convergencia Dominada. De hecho, puedes debilitar tu hipótesis sobre $f$ para que sea $f\in\mathcal{L}^1_{\rm loc}(\mathbb{R})$. La función $f$ solo necesita ser integrable en intervalos acotados.