Cómo demostrar $(AB)^T=B^T A^T$

Question

Dada una matriz $m\times n$ $A$ y una matriz $n\times p$ $B$. Demuestra que $(AB)^T = B^TA^T$.

Aquí está mi intento:

Escribe las matrices $A$ y $B$ como $A = [a_{ij}]$ y $B = [b_{ij}]$, lo que significa que sus entradas $\left(i,j\right)$-ésimas son $a_{ij}$ y $b_{ij}$, respectivamente.

Sea $C=AB=[c_{ij}]$, donde $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$, la definición estándar de multiplicación.

Queremos $(AB)^T = C^T = [c_{ji}]$. Es decir, el elemento en la posición $j,i$ es $\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$. Por ejemplo, si $i=2, j=3$, entonces el elemento en la posición $2,3$ de $C$ es esa suma, pero el elemento en la posición $3,2$ de la transpuesta es esa suma.

Necesito obtener el mismo valor para el elemento en la posición $3,2$ del otro lado.

Las matrices transpuestas son $B^T=[b_{ji}], A^T=[a_{ji}]$. Tienen un tamaño de $p \times n$ y $n \times m$. Es decir, intercambian filas y columnas.

Sea $D = B^T A^T = [d_{ji}]$. Escribo los índices al revés porque si quiero el elemento en la posición $3,2$, es decir, $i=2, j=3$ igual que en el otro lado.

Así que necesito la suma para $d_{ji}$. Pero obtengo que $d_{ji} = \sum_{k=1}^n b_{jk}a_{ki}$, lo cual no coincide.

Answer 1

Por un lado sabemos que $(AB)_{ji} = (AB)^T_{ij}$, por lo tanto $$(AB)^T_{ij} = (AB)_{ji} = \sum\limits_{k=1}^nA_{jk}B_{ki},$$ por otro lado $$(B^TA^T)_{ij}= \sum\limits_{k=1}^nB^T_{ik}A^T_{kj}= \sum\limits_{k=1}^nB_{ki}A_{jk}= \sum\limits_{k=1}^nA_{jk}B_{ki},$$ entonces, dado que $(AB)^T_{ij} = (B^TA^T)_{ij}$ para todo $i=1,...,p$ y $j=1,...,m$ tenemos $$(AB)^T = B^TA^T.$$

Answer 2

El producto de la matriz $A$ y $B$ es $$(A\cdot B)_{ij}=\text{row}(A)_i \cdot \text{column}(B)_j$$ $$(A\cdot B)^T_{ij}=C_{ji} = \text{row}(A)_j \cdot \text{column}(B)_i$$ $$\text{row}(A)_i=\text{column}(A^T)_i$$ $$\text{column}(B)_j=\text{row}(B^T)_j$$ $$(A\cdot B)_{ij}=\text{row}(A)_i \cdot \text{column}(B)_j=\text{column}(A^T)_i \cdot \text{row}(B^T)_j=\text{row}(B^T)_j \cdot \text{column}(A^T)_i=(B^T \cdot A^T)_{ji}.$$ Por lo tanto, tenemos: $$(A \cdot B)_{ij}=(B^T \cdot A^T)_{ji}.$$ Podemos reescribir la última afirmación de la siguiente forma: $$(A \cdot B)=(B^T \cdot A^T)^T.$$ Ahora, transpongamos ambos lados y obtendremos lo que queremos: $$(A \cdot B)^T=B^T \cdot A^T.$$

Answer 3

Lo escribiría de esta manera: denotando $a'$ y $b'$ como los coeficientes de $\;{}^{\mathrm t}\!A$ y $\;{}^{\mathrm t}\!B$, tenemos:

$$d_{ij}=c_{ji}=\sum_{1\le k\le n}a_{jk}b_{ki}=\sum_{1\le k\le n}b'_{ik}a'_{kj},$$ por lo tanto $\;{}^{\mathrm t}\mkern-1mu C={}^{\mathrm t}\!B\:{}^{\mathrm t}\!A$.

Answer 4

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$$

$$[(AB)_{ij}]^T = \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}$$

---

$$(BA)_{ij} = \sum_{k=1}^n b_{ik}a_{ki}$$

$$B^{T}A^{T} = (B_{ik})^{T}(A_{kj})^{T} = \sum_{k=1}^n b_{ki}a_{jk} = \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}$$

Answer 5

Mostrar, con la mano, que las entradas de $(AB)^T$ y $B^TA^T$ son iguales es fácil pero no tiene interés teórico. Además, un joven estudiante, para quien la matriz transpuesta está definida como $A^T_{i,j}=A_{j,i}$, puede pensar que la fórmula considerada anteriormente es un puro milagro mientras que en realidad es solo una consecuencia de la definición natural que sigue -cf. también la respuesta de Ted Shifrin en

Transpuesta del producto de matrices

Sea $K$ un campo y $_r=\sum_{i\leq r}x_iy_i$ -una forma bilineal simétrica no degenerada sobre $K^r$-. Entonces definimos la transposición por dualidad (ejercicio)

$\textbf{Proposición 1}$. Sea $A\in M_{n,q}$; entonces $A^T\in M_{q,n}$ está definida de forma única por, para cada $x\in K^q,y\in K^n$, $_n=_q$. Además, para cada $i,j$, $(A^T)_{i,j}=A_{j,i}$.

$\textbf{Prueba}$. Elegir $x=e_i,y=e_j$.

$\textbf{Proposición 2}$. $(AB)^T=B^TA^T$ cuando el producto $AB$ está definido.

$\textbf{Prueba}$. $\=\=\=$.