¿Cuáles son algunos ejemplos de oraciones lógicas de tercer, cuarto o quinto orden?

Question

Entiendo que esta puede parecer una pregunta obvia, pero no he podido encontrar ejemplos de oraciones en lógica de orden superior, por lo que mi intuición sobre cómo se supone que debe comportarse me está fallando. Hay descripciones que describen la lógica de tercer orden como 'propiedades de propiedades', pero sin sintaxis de ejemplo, no estoy seguro si voy por el camino correcto o no.

Las oraciones de la lógica proposicional son proposiciones simples conectadas por conectivos lógicos:

$\phi$ $\land$ $\psi$

$\phi \lor \psi$

$\lnot \phi \rightarrow \psi$

Las oraciones de la lógica de primer orden son objetos cuantificados con predicados y funciones libres:

$\exists$x $\forall$y P(f(x)) $\rightarrow$ Q(y)

Las oraciones de la lógica de segundo orden no solo cuantifican los objetos, sino también las funciones y los predicados:

$\forall$Q $\exists$P $\exists$f $\exists$x $\forall$y P(f(x)) $\rightarrow$ Q(y)

¿Cómo podemos ir más allá de la segunda orden? ¿Cuáles son algunos ejemplos de oraciones de lógica de tercer, cuarto o quinto orden?

Answer 1

Los axiomas de la topología, por ejemplo, pueden ser vistos como axiomas de tercer orden. Simplemente por el axioma de que una topología está cerrada bajo uniones:

$$\forall\mathcal U((\forall U\in\mathcal U\rightarrow U\in\tau)\rightarrow(\exists V\forall x(x\in V\leftrightarrow\exists U\in\mathcal U(x\in U))\land V\in\tau))$$

En el lenguaje de la aritmética, un buen orden de los predicados de segundo orden (es decir, $\mathcal P(\Bbb N)$), o incluso la existencia del mismo, es una oración de tercer orden que proviene de los números mismos.

Hasta cierto punto esta es la gran cosa acerca de la teoría de conjuntos aquí. Nos permite tomar cualquiera de estas oraciones de alto orden y convertirlas en oraciones de primer orden en el lenguaje de conjuntos. Por supuesto, podemos convertirlas en oraciones de primer orden en una lógica de dos/tres/cuatro tipos, que actúa un poco como la teoría de tipos, pero hay problemas en ese enfoque (por ejemplo, la caracterización de $\Bbb R$ como el único campo ordenado completo no se traducirá bien en lógica de primer orden).

Answer 2

En el contexto de la aritmética de orden superior, existen muchas afirmaciones naturales de tercer orden. En aritmética, los cuantificadores sobre números naturales son de primer orden, los cuantificadores sobre conjuntos de números naturales son de segundo orden, y la cuantificación sobre conjuntos de conjuntos de números naturales es de tercer orden.

Usando métodos de codificación estándar, la cuantificación sobre números reales es de segundo orden, por lo que la cuantificación sobre conjuntos de números reales es de tercer orden.

Algunas oraciones en inglés que se expresan como afirmaciones de tercer orden en el lenguaje de la aritmética, pero no como afirmaciones de segundo orden, incluyen:

• Existe un ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$.

• Cualquier subconjunto del intervalo unitario $[0,1]$ tiene un punto de acumulación.

• Existe una función discontinua de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}.

De manera similar, se pueden obtener afirmaciones de cuarto orden cuantificando sobre subconjuntos arbitrarios de $\mathbb{R}$.