¿Puede alguien explicar este proceso de resolución? (Diferenciación)

Question

Estoy en diferenciación de funciones algebraicas. Hay un ejemplo en el módulo que no pude entender cómo llegó a eso.

$y=\frac {(x+1)^3}{x^2}$

Se resuelve usando una combinación de reglas de cociente y potencia. Enumeraré cómo se resuelve.

$(1) y= \frac{(x^2(3(x+1)^2))–(x+1)^32x}{x^4}$

$(2) y= \frac{x(x+1)^2 (3x–2(x+1))}{x^4}$

$(3) y= \frac {(x+1)^2 (3x-2x-2)}{x^3}$

$(4) y= \frac {(x+1)^2 (x-2)}{x^3}$

¿Cómo se llegó a $(2)$? ¿Por qué se hizo así? Simplemente no logro entenderlo. Parece que se saltaron un par de pasos (al menos para mí). ¿Alguien me puede ayudar con esto?

Answer 1

Si se vuelve demasiado complicado, siempre puedes usar la diferenciación logarítmica. Toma el logaritmo natural de ambos lados para obtener:

$$\ln y = \ln((x+1)^3) - \ln(x^2)$$ $$\ln y = 3 \ln(x+1) - 2 \ln x$$

y así usando la regla de la cadena, tenemos que $\frac{d}{dx} (\ln y)$, donde $y$ es una función de $x$), es $\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{y'}{y}$:

$$\frac{y'}{y} = \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x} = \frac{3x - 2(x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-2}{x(x+1)}$$

entonces usando lo que es $y$, tenemos que:

$$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{x-2}{x(x+1)} \frac{(x+1)^3}{x^2} = \frac{(x-2)(x+1)^2}{x^3}$$

Answer 2

Aquí hay una forma de resolverlo. Usa el hecho de que la derivada de $(ax+b)^n=n(ax+b)^{n-1}(ax+b)'$. Esto se sigue simplemente de la regla de la cadena.

Rewrite the equation as $y=(x+1)^3x^{-2}$. Then apply the product rule. The product rule says $(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$.

Así, obtenemos $((x+1)^3x^{-2})'=((x+1)^3\cdot-2x^{-3})+3(x+1)^2x^{-2}$.

Al escribir esto de manera clara, obtenemos: $((x+1)^3x^{-2})'=\frac {-2(x+1)^3} {x^3}+\frac {3(x+1)^2} {x^2}=\frac {-2(x+1)^3+3x(x+1)^2} {x^3}$.

Ahora factorizamos $(x+1)^2$ para obtener $\frac {(x+1)^2(-2(x+1)+3x)} {x^3}=\frac {(x+1)^2(-2x-2+3x)} {x^3}=\frac {(x+1)^2(x-2)} {x^3}$

Answer 3

Antes de empezar, recordemos la primera derivada de un cociente:

Sea: $$y(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, v(x)\ne 0$$ entonces:

$$y'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$$

Aplicar para tu caso:

$$y(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2}$$ entonces: $$y'(x)=\frac{[(x+1)^3]'x^2-(x+1)^3[x^2]'}{x^4}=\frac{3(x+1)^2x^2-2x(x+1)^3}{x^4}$$ ahora usa el factor común $x(x+1)^2$ entonces: $$y'(x)=\frac{x(x+1)^2[3x-2(x+1)]}{x^4}=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3}$$