Mostrar que una función definida en un subconjunto de un espacio métrico está bien definida y es continua.

Question

Supongamos que $(X, d)$ es un espacio métrico, y $A \in X$ es un conjunto acotado.

Demuestra que la función $$f(x) := \text{sup}\{d(x, a); a \in A\}, \:\:x \in X$$

está bien definida y es continua.

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$A$ es acotado $\Rightarrow$ existe $x_0 \in X,\: M > 0$ tal que $d(x, x_0) \leq M \:\:\forall\: x \in A$.

Para cualquier $x$ fijo

$$d(x, a) \leq d(x, x_0) + d(x_0, a) \leq d(x, x_0) + M, \:\:\forall a \in A$$

Entonces

$$f(x) := \text{sup}\{d(x, a); a \in A\} \leq d(x, x_0) + M < \infty$$

y $f(x)$ está bien definida.

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No estoy seguro de cómo probar que $f(x)$ es continua. Algo con $\epsilon - \delta$.

¿Puedes indicarme en la dirección correcta para el siguiente paso a tomar?

Gracias.

Answer 1

Respuesta sobre la continuidad.

Para cada $a\in A$ tenemos $d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\leq d(x,y)+f(y)$.

Esto implica $f(x)\leq d(x,y)+f(y)$.

De la misma manera $f(y)\leq d(x,y)+f(x)$.

Conclusión: $|f(x)-f(y)|\leq d(x,y)$.

Entonces $d(x,y)<\epsilon\implies|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Parece que en realidad puedes tomar $\delta=\epsilon$.