$$I_n=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2n+1}(\sin^{2}x)\mathrm{d}x$$ He intentado aislar un I(n-1) y luego esperaba poder evaluar la integral definida restante: $$I_n = I_{n-1}-\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\sin^2(sin^2x)\cos^{2n-1}(\sin^{2}x)\mathrm{d}x$$ Intenté integrar por partes la integral a la derecha pero no tuve éxito. Apreciaría cualquier sugerencia.
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Adil Mehmood
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$$I_n=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2n+1}(\sin^{2}x)dx=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2x)^n\sin^2x\cos x dx$$
Introduce la sustitución:
$$\sin x = t, \quad\cos x dx =dt$$
...y hemos terminado con la trigonometría:
$$I_n=\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^nt^2dt$$
$$I_n=\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^n(t^2-1)dt+\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^ndt$$
$$I_n=\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^{n}dt-\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^{n+1}dt$$
Denota con $A_n$ la siguiente integral:
$$A_n=\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^{n}dt$$
Obviamente:
$$I_n=A_n-A_{n+1}\qquad(1)$$
Ahora intenta resolver $A_n$ haciendo integración por partes:
$$u=(1-t^2)^n, \quad du=-2n(1-t^2)^{n-1}tdt$$ $$dv=dt, \quad v=t$$
$$A_n=t(1-t^2)|_{-1}^{1} + 2n\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)^{n-1}t^2dt$$
$$A_n=2nI_{n-1}\qquad(2)$$
Consecuentemente:
$$A_{n+1}=(2n+2)I_{n}\qquad(3)$$
Reemplaza ahora (2) y (3) en (1) y obtienes:
$$I_n=2nI_{n-1}-(2n+2)I_n$$
o:
$$I_n=\frac{2n}{2n+3}I_{n-1}$$
$$I_0=\frac{2}{3}, I_1=\frac{4}{15}, I_2=\frac{16}{105}, I_3=\frac{32}{315}, ....$$
De hecho, puedes demostrar fácilmente que:
$$I_n=2\frac{(2n)!!}{(2n+3)!!} $$
