Si $G$ es un grupo de orden par, demuestra que tiene un elemento $a\neq e$ tal que $a^2=e$.

Question

Si $G$ es un grupo de orden par, prueba que tiene un elemento $a \neq e$ que cumple $a^2 = e$.

Mi prueba:

Sea $|G| = 2n$. Como $G$ es finito, existe $a \in G$ tal que $a^p = e$ y por el Teorema de Lagrange, p divide a 2n. Por el lema de Euclides, como p no divide a 2, p divide a n. Sea $n = pk$. Por lo tanto, $(a^n)^2 = (a^{pk})^2 = ((a^p)^k)^2 = (e^k)^2 = e$. Por lo tanto, $a^n$ es un elemento que cumple la condición.

¿Está bien mi solución?

Para este problema, me pregunto cómo puedo resolverlo sin usar el Teorema de Lagrange, ya que este problema es un ejercicio anterior a la enseñanza del Teorema de Lagrange.

Answer 1

La siguiente es quizás una de las demostraciones más simples:

Agrupe si es posible cada elemento de $\; G \;$ con su inverso, y observe que

$$g^2 \neq e \iff g \neq g^{-1} \iff \;\text{existe el par}\;\;(g, g^{-1})$$

Ahora, hay un elemento que no tiene pareja: la unidad $\; e \;$ (ya que de hecho $\; e = e^{-1} \iff e^2 = e$), por lo que dado que el número de elementos de $\; G \;$ es par, debe haber al menos un elemento más, digamos $\; e \neq a \in G \;$ , sin pareja, y así $\; a = a^{-1} \iff a^2 = e \;$

Answer 2

Esta no es una demostración estricta, pero puede resultar útil cuando se desea una demostración sin recurrir al teorema de Lagrange:

Tenemos que para todo $g\in G$ hay un único $g^{-1} \in G$ tal que $gg^{-1}=e$. Si suponemos que no hay ningún $a \in G$ tal que $a^2=e$, es decir, que $a=a^{-1}$ (es decir, que no hay elementos que sean su propia inversa), entonces para todo $x\neq e$ en $G$ podemos asignar un $y\in G$ único tal que $xy=e$. Así que el conjunto de pares de elementos que son inversos entre sí forma una partición para $G.

Pero entonces $|G|$ es impar ya que $e$ es el único elemento que es su propia inversa.