Matriz de rotación en coordenadas esféricas

Question

Cuando se tiene un punto arbitrario en una esfera unitaria $a = (\theta, \phi)$ y un eje arbitrario $\vec{A}=(\Theta, \Phi)$, ¿podemos tener una expresión algebraica para $a_1=(\theta_1, \phi_1)$ que sea una rotación de $a$ alrededor de $\vec{A}$ al ángulo $\beta$?

Los puntos y ejes no están en los planos de coordenadas, los valores no son triviales: $\theta \neq 0$, $\phi \neq 0$, $\Theta \neq 0$, $\Phi \neq 0$, $\beta \neq 0$.

¿Se puede hacer esto sin transformación a través de cartesiano? De lo contrario, la forma analítica se vuelve demasiado complicada. Si hay un caso particular para $\Phi \rightarrow 0$ ($\sin{\Phi} \approx \Phi$, pero no para los otros valores) también está bien.

Gracias

Answer 1

Creo que lo que estás buscando es Fórmula de rotación de Rodrigues. Usando coordenadas esféricas:

Tu punto arbitrario en la esfera unitaria es: $$\mathbf{a} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$$

Tu eje arbitrario está representado por el vector unitario: $$\hat{\mathbf{k}} = (\sin\Theta\cos\Phi, \sin\Theta\sin\Phi, \cos\Theta)$$

Luego, el resultado de rotar $\mathbf{a}$ alrededor de $\hat{\mathbf{k}}$ por el ángulo $\beta$, utilizando la regla de la mano derecha, está dado por

$$\mathbf{b} = \cos\beta\,\mathbf{a} + \sin\beta\,(\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{a}) + (\hat{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{a})(1-\cos\beta)\,\hat{\mathbf{k}}$$

Por supuesto, ahora las coordenadas cartesianas de $\mathbf{b}$ deben convertirse a esféricas: $$\tan\phi' = \frac{b_y}{b_x} \qquad\mbox{y}\qquad \tan\theta' = \frac{\sqrt{b_x^2 + b_y^2}}{b_z}$$ entonces $$\mathbf{b} = (\sin\theta'\cos\phi', \sin\theta'\sin\phi', \cos\theta')$$

El mismo artículo sobre la Fórmula de Rodrigues también discute una representación matricial de la operación de rotación en cuestión.

Answer 2

Las rotaciones en coordenadas esféricas son transformaciones afines, por lo que no hay una matriz para representar esto en la base estándar $(\theta, \phi)$, deberás introducir otro coeficiente aquí: $(\theta, \phi, 1)$, la matriz de rotación en la dirección $\theta$ es entonces, por ejemplo, rotar por $\alpha$ es;
$R(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Answer 3

En este artículo explico cómo lidiar cuando el eje de rotación es uno de los ejes cartesianos.

Para un eje de rotación arbitrario $\vec{A}=(\Theta,\Phi)$, usando las mismas notaciones, la fórmula es $$(\theta', \phi') = (Q^{-1} \circ R_{\vec{A}}(\beta) \circ Q)(\theta,\phi)$$ donde el operador de rotación $R_{\vec{A}}(\beta)$ es $$R_{\vec{A}}(\beta) = R_z(\Phi)R_y(\Theta)R_z(\beta){R_y(\Theta)}^\dagger{R_z(\Phi)}^\dagger$$ ("${}^\dagger$" es la notación para la transpuesta conjugada).