Flujo de un campo de inverso cuadrado

Question

Esta pregunta apareció en mi examen de física: ¿Cuál es el valor de la integral de superficie $\oint_S\frac{\overrightarrow{r}}{r^3} \,\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{A}$ para r>0? El profesor dice que la respuesta es $4\pi$, pero creo que la respuesta será o bien 0 o 4$\pi$ dependiendo de si el origen está encerrado por la superficie S. Después de todo, físicamente, el integrando es simplemente el campo de una carga puntual de magnitud $4\pi\epsilon_0$ colocada en el origen, y por lo tanto la integral es su flujo a través de S. Así que dependiendo de si la superficie encierra la carga puntual o no, el flujo será o bien 0 o $4\pi$ según la ley de Gauss. ¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Con el campo vectorial dado sobre el cual estás integrando, significa que el origen está encerrado. De lo contrario, la expresión no estaría definida para todo r>0.

Sin embargo, una integral simple indica una integral de contorno, es decir, sobre una curva cerrada, no una superficie cerrada. Para esto último deberías usar ∯_S