¿Cómo probar si la proporción de sujetos significativos es significativamente diferente a lo esperado por casualidad?

Question

Tengo $100$ monedas y quiero probar si son heterogéneas en sus sesgos.

$H_O$: cada moneda tiene el mismo $p$ para caras
$H_1$: de lo contrario (diferentes $p$'s heterogéneos)

Cada moneda fue lanzada $20$ veces y así tengo el $p$ empírico para cada moneda ($p_j$) y el $p$ empírico para todos los $100\times20$ lanzamientos ($p_{all}$).

Estimé para cada moneda por separado si es significativamente diferente que $p_{all}$ (usando la función de densidad de una distribución binomial) y obtuve que $\frac{X}{100}$ monedas son significativamente diferentes de $p_{all}$.

Ahora quiero estimar el valor $p$. de $\frac{X}{100}$, bajo la hipótesis nula de que para todas las monedas: $p_j = p_{all}$. ¿Cómo debo hacer eso?

Al principio pensé en usar el test de varianza chi-cuadrado $\chi^2$, pero mis $p_j$'s no siguen una distribución normal (y obtuve un valor $p$ de exactamente cero).

Answer 1

Si todos los $p$ son iguales, entonces tienes una muestra grande (tamaño $100 \times 20$) de la misma distribución binomial, bajo la hipótesis alternativa, no. Por lo tanto, podrías estimar la varianza y ver si es consistente con una varianza binomial de $n p (1-p)$ o es diferente. Podrías usar una prueba de bondad de ajuste para la binomial. O simplemente podrías usar regresión logística y ver si el modelo con un factor de 100 niveles se ajusta mejor que el modelo nulo ...