¿Cómo se relacionan los vectores propios/valores propios y las ecuaciones diferenciales?

Question

En el colegio y en la universidad nunca tuvimos valores propios ni ecuaciones diferenciales, así que estos conceptos me hacían pasar un mal rato. Ahora he desarrollado cierta intuición para ambos conceptos.

Aprendí que ambos están conectados de alguna manera, es decir, hay un enfoque de vectores propios/valores propios para resolver ecuaciones diferenciales. Por desgracia, la mayoría de los textos que encuentro están muy por encima de mi comprensión y parecen requerir un estudio muy extenso.

¿Existe la posibilidad de proporcionarme una intuición de la conexión de todos modos y tal vez dar un ejemplo fácil de cómo utilizar este enfoque para resolver una ecuación diferencial?

Answer 1

Puedes pensar en los vectores propios como si te dieran el sistema de coordenadas en el que tu problema tiene la forma más sencilla. Es análogo a trabajar con problemas físicos girando el sistema de coordenadas en la dirección correcta para hacer desaparecer algún término.

Answer 2

Supongamos que $\sum a_n y^{(n)} = 0$ es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes. Sea $D$ sea el operador lineal definido, por ejemplo, en el espacio $C^{\infty}(\mathbb{R})$ de funciones suaves $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que envía una función $y$ a su derivado $y'$ . Entonces las soluciones de la ecuación diferencial anterior son el espacio nulo del operador $\sum a_n D^n$ .

Resulta que este espacio nulo es de dimensión finita, por lo que podemos utilizar el álgebra lineal de dimensión finita en él. Pero no es sólo un espacio vectorial: viene equipado con una acción de $D$ que conmuta con $\sum a_n D^n$ y que, por lo tanto, divide el espacio nulo en eigenspaces de $D$ . En el caso más sencillo, estos espacios propios serán todos unidimensionales. Ahora, los vectores propios de $D$ son precisamente las funciones que satisfacen $Dy = \lambda y$ para algún valor propio $\lambda$ que son precisamente las funciones exponenciales $y = e^{\lambda t}$ . Y no es difícil ver que tal función es una solución de la ecuación diferencial si y sólo si $\lambda$ es una raíz del polinomio característico $\sum a_n \lambda^n$ .

Ejemplo. Movimiento armónico simple se rige por la ecuación diferencial $m D^2 + k D^0 = 0$ que tiene el polinomio característico $m \lambda^2 + k = 0$ . Las raíces de este polinomio son complejas, pero si nos permitimos trabajar con números complejos (formalmente, en la situación anterior se tensa con $\mathbb{C}$ ) encontramos que los valores propios son $\lambda = \pm i \sqrt{ \frac{k}{m} }$ por lo que el conjunto de soluciones son todas las funciones de la forma

$$x = A e^{ i \sqrt{ \frac{k}{m} } t } + B e^{-i \sqrt{ \frac{k}{m} } t}.$$

Por la fórmula de Euler, si restringimos nuestras soluciones para que sean reales obtenemos los conocidos seno y coseno periódicos.

En general los eigenspaces no serán unidimensionales y entonces se aplica la teoría de la forma normal de Jordan. Esto ocurre, por ejemplo, al encontrar la forma general de movimiento armónico amortiguado .

Answer 3

Si tienes un sistema lineal en forma de matriz, $dX/dt=AX$ , donde $X(t)$ es un vector en $\mathbf{R}^n$ y $A$ es un $n\times n$ matriz real constante, entonces $X(t) = \exp(\lambda t) V$ es una solución del sistema si $V$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ . (Esto funciona ya que $\exp(\lambda t)$ es una función propia de el operador diferencial $d/dt$ con valor propio $\lambda$ .)

Si $A$ es diagonalizable, entonces la solución general es una combinación lineal de términos como la anterior: $X(t)=\sum_{k=1}^n c_k \exp(\lambda_k t) V_k$ . (Si los valores propios son complejos, ésta es la solución general de valor complejo; se pueden realizar algunos trucos estándar para extraer la solución general de valor real a partir de ella). Matrices no diagonalizables $A$ causar un poco más de problemas, pero eso también se puede manejar.

(Por supuesto, esto está relacionado con lo que ya se ha dicho en otras respuestas, pero con un sistema de este tipo se ve claramente que los vectores propios juegan un papel también, no sólo los valores propios).

Answer 4

La colección de todas las funciones que son diferenciables al menos $n$ veces (llamémoslo $\mathcal{F}_n$ sólo a efectos de este post) forman un espacio vectorial; y el operador $D$ definido por $D(f) = f'$ es lineal ( $D(f+g)=D(f)+D(g)$ y $D(\alpha f) = \alpha D(f)$ para todos $f,g$ y escalares $\alpha$ ). Así que $D$ es una transformación lineal del espacio vectorial de las funciones que se pueden diferenciar al menos $n$ tiempos, y funciones que se pueden diferenciar al menos $n-1$ tiempos.

Ahora, suponga que tiene un homogéneo ecuación diferencial lineal: $$f_n(x) y^{(n)}(x) + \cdots + f_1(x)y'(x) + f_0(x)y(x) = 0.$$ Entonces la colección de todas las funciones $y(x)$ que son soluciones de este sistema forman un subespacio de $\mathcal{F}_n$ porque si $y_1$ y $y_2$ son soluciones, entonces también lo es $y_1+\alpha y_2$ para cualquier escalar $\alpha$ y la función cero es ciertamente una solución. Es, de hecho, el espacio nulo de una determinada transformación lineal, a saber, la transformación lineal $L$ dado por $$L(y) = f_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots + f_1(x)y'(x) + f_0(x)y(x).$$ Por lo tanto, se puede aplicar algo de álgebra lineal a este problema; por ejemplo, determinar la dimensión del espacio de solución, etc.

Además, por analogía con el caso de los sistemas de ecuaciones lineales, consideremos un * no *Ecuación diferencial lineal homogénea: $$f_n(x) y^{(n)}(x) + \cdots + f_1(x)y'(x) + f_0(x)y(x) = g(x).$$ Supongamos que puedes encontrar una solución particular $y_p$ a esta ecuación. Entonces, si $y_h$ es cualquier solución de la ecuación homogénea correspondiente, entonces $y_p+y_h$ es una solución de la ecuación no homogénea también; y si $z_p$ es otra solución de la ecuación no homogénea, entonces $y_p-z_p$ es una solución de la ecuación homogénea. Así que cada la solución de la ecuación no homogénea es de la forma $y_p + y_h$ , donde $y_p$ es la solución particular a encontrar, y $y_h$ es una solución de la ecuación homogénea asociada. Esto es exactamente lo mismo que ocurre con los sistemas de ecuaciones lineales (donde las incógnitas son números).

En muchos casos, puedes demostrar que cualquier solución de tus ecuaciones será realmente infinitamente diferenciable (por ejemplo, si tu $f$ s son infinitamente diferenciables). Entonces se puede pensar en la transformación lineal $L$ como un operador lineal en el espacio de las funciones infinitamente diferenciables. Entonces los vectores propios y los valores propios pueden entrar en juego: los vectores propios y los valores propios te dan formas más simples de pensar en una transformación lineal, por lo que te dan formas más simples de pensar en este una transformación lineal particular (que resulta corresponder a las soluciones de una ecuación diferencial).

Además, los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales conducen de forma muy natural a transformaciones lineales en las que los vectores propios y los valores propios desempeñan un papel clave para ayudar a resolver el sistema, porque "desacoplan" el sistema, al permitir pensar en un sistema complejo en el que cada una de las variables afecta a la derivada de las demás como un sistema en el que se tienen algunas variables nuevas que son completamente independientes entre sí (o, en el caso de los vectores propios generalizados, que dependen fácilmente sólo de algunas de las demás). Esto hace que el sistema sea más fácil de resolver.

Answer 5

Esta es la mejor explicación que he visto hasta ahora. Este breve artículo no sólo explica la conexión entre los valores propios, los vectores propios y las ecuaciones diferenciales utilizando una matemática muy clara y de grado, sino que también tiene muchas visualizaciones... y bonitos ejemplos relativos al desarrollo del amor de Romeo y Julieta:

http://wcherry.math.unt.edu/math2700/diffeq.pdf