Teorema de Baire y conjuntos compactos

Question

Demuestra o refuta la siguiente afirmación. Hay una colección contable de conjuntos compactos $\{K_n\}$ de $C([0,1])$ tal que $K_n \subseteq K_{n+1}$ para todo $n$ y que $$C([0,1]) = \bigcup_{n=1}^\infty K_n.$$

Sé que esto no es cierto pero no sé cómo probarlo. Una "demostración" más detallada será mejor que una pista Gracias

Answer 1

Si es cierto, entonces el Teorema de la Categoría de Baire te dice que existe un entero $n$ tal que $K_n$ tiene un punto interior $f$. Existe un $r>0$ tal que $B(f,r) \subset K_n$. Esto hace que $B(f,r)$ sea compacto en relativa. Aplica el homeomorfismo $g \to \frac {g-f} r$ para ver que la bola unitaria abierta de $C[0,1]$ es relativamente compacta. Pero, la bola unitaria abierta de un espacio lineal normado es relativamente compacta si y solo si es de dimensión finita. Dado que $C[0,1]$ no es de dimensión finita, hemos terminado.