Isomorfismos y transformaciones lineales

Question

Supongamos que $B = S^{-1}AS$ para algunas matrices $n \times n$ $A$, $B$ y $S$.

1. Demuestra que si $x \in \ker(B)$ entonces $Sx \in \ker(A).

Prueba: $B = S^{-1}AS$ implica que $SB = AS$, lo cual implica que $SBx = ASx = 0$, es decir, $Sx \in \ker(A).

2. Demuestra que la transformación lineal $T : \ker(B) \to ker(A), \, x \mapsto Sx$ es un isomorfismo.

Sé cómo demostrar la parte 1, pero no estoy seguro de qué hacer para la parte 2.

Answer 1

$T: Ker\ (B)\rightarrow Ker\ (A)$ se da por $T(x)=S(x)$. Primero que todo por la parte 1, esto está bien definido.

1. Verificar que es lineal.

2. Sea $x\in Ker\ (T)$. Entonces $T(x)=S(x)=0\implies x\in Ker (S)$. Pero $S$ es invertible $\implies x=0$. Así que $T$ es uno a uno.

3. Sea $x\in Ker\ (A)\implies A(x)=0$. Por lo tanto consideramos el vector $S^{-1}x$. Entonces $BS^{-1}(x)=S^{-1}A(x)=0\implies S^{-1}(x)\in Ker\ (B)$ y $T(S^{-1}(x))=S(S^{-1}(x))=x$. Así que $T$ es sobre.

Por lo tanto $T$ es un isomorfismo.

Answer 2

Una relación similar existe con los roles de $A$ y $B$ invertidos, y con $S$ reemplazado por su inverso:

$$A=SBS^{-1}=(S^{-1})^{-1}BS^{-1}$$

Esto significa que la conclusión del punto 1 también se puede aplicar a esta situación: $S^{-1}$ mapea el núcleo de $A$ en el núcleo de $B.$

Answer 3

La prueba de 1 es buena. Ahora, el mapa $T$ está bien definido y obviamente lineal ya que es la multiplicación por una matriz.

Si $x\in\ker T$, entonces $Sx=0$, así que $x=0$ porque $S$ es invertible. Por lo tanto, $T$ es inyectiva. Dado que $A$ y $B$ tienen el mismo rango, sus espacios nulos (núcleos, en tu terminología) tienen la misma dimensión (teorema del rango-nulidad) e inyectividad implica sobreyectividad.

Alternativamente, muestra que $U\colon \ker A\to\ker B$ está bien definida por $y\mapsto S^{-1}y$. Obviamente, $T$ y $U$ son inversos el uno del otro.