Sea $E$ un haz vectorial en una variedad suave $M$, sea $\nabla$ una conexión en $E$. Sea $v\in E_p$, donde $p\in M$. ¿Es cierto que existe $s\in\Gamma(M,E)$ tal que $s(p)=v$ y $\nabla(s)=0$ ?
Respuestas
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Para un contraejemplo, considere la subvariedad Riemanniana $S^2\subseteq\mathbb R^3$ con la conexión de Levi-Civita $\nabla$. Usando que $\nabla$ es una conexión métrica se tiene que para un campo vectorial tangente paralelo $s\in\Gamma(S^2,TS^2)$ y todos los vectores tangentes $X$
$$X\langle s,s\rangle=\langle\nabla_Xs,s\rangle+\langle s,\nabla_X s\rangle=0$$
lo cual implica que $\langle s,s\rangle$ es una función constante en $S^2$. En particular, si $s$ es distinto de cero en algún punto también lo es en todos los otros puntos. Ahora, por el teorema de la pelota peluda, todo campo vectorial tangente continuo en $S^2$ tiene un cero, así que si se inicia con $s(p)\neq 0$ no existe una extensión paralela.
Anders Eurenius
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En general no es posible. Por ejemplo, supongamos que $M$ es una variedad Riemanniana, $E=TM$, y $\nabla$ es la conexión de Levi-Civita. Si fuera siempre posible encontrar una sección así, podrías comenzar con una base ortonormal para $T_pM$ y extenderla a un marco ortonormal paralelo. Esto es imposible a menos que la métrica Riemanniana sea plana.
Travis
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De hecho, la afirmación está lejos de ser cierta: Genéricamente, dado un haz vectorial $ E \to M $ equipado con una conexión de haz vectorial $\nabla $ y una elección de punto $ p \in M $, el único vector $ v \in E_p $ que admite una extensión a una sección paralela $ s \in \Gamma(E\vert_U) $ a cualquier vecindario $ U \ni p $ es el vector cero.
De hecho, se sigue de la definición de la curvatura $$ R \in \textstyle{\Gamma\left(\bigwedge^2 T^*M \otimes \operatorname{End}(E)\right)} $$ de $\nabla $ que aniquila cualquier sección paralela (local) $ s $ de $ E $, es decir, que $$ R(\,\cdot\,,\,\cdot\,)(s) = 0 $$---es decir, que $ R $ es degenerada.
Ejemplo Para cualquier campo vectorial (local) $ X $ en $ S^n $, la curvatura $ R $ de la conexión de Levi-Civita de la métrica redonda satisface $$ R(\,\cdot\,,\,\cdot\,)(X) = X^\flat \wedge \operatorname{id} $$. En particular (para $ n > 1 $), si $ \nabla X = 0 $ entonces $ X = 0 $.
Tal vez vale la pena mencionar que la afirmación es cierta en el caso especial de que $ \dim M = 1 $, al menos localmente (y globalmente si $ M $ es simplemente conexo). Después de todo, si $ M $ es de dimensión $ 1 $, hay prácticamente un único camino a lo largo del cual se puede transportar un vector de forma paralela.
