Ampliando un vector a una sección de un haz vectorial paralelo con respecto a una conexión dada

Question

Sea $E$ un haz vectorial en una variedad suave $M$, sea $\nabla$ una conexión en $E$. Sea $v\in E_p$, donde $p\in M$. ¿Es cierto que existe $s\in\Gamma(M,E)$ tal que $s(p)=v$ y $\nabla(s)=0$ ?

Answer 1

Para un contraejemplo, considere la subvariedad Riemanniana $S^2\subseteq\mathbb R^3$ con la conexión de Levi-Civita $\nabla$. Usando que $\nabla$ es una conexión métrica se tiene que para un campo vectorial tangente paralelo $s\in\Gamma(S^2,TS^2)$ y todos los vectores tangentes $X$

$$X\langle s,s\rangle=\langle\nabla_Xs,s\rangle+\langle s,\nabla_X s\rangle=0$$

lo cual implica que $\langle s,s\rangle$ es una función constante en $S^2$. En particular, si $s$ es distinto de cero en algún punto también lo es en todos los otros puntos. Ahora, por el teorema de la pelota peluda, todo campo vectorial tangente continuo en $S^2$ tiene un cero, así que si se inicia con $s(p)\neq 0$ no existe una extensión paralela.

Answer 2

En general no es posible. Por ejemplo, supongamos que $M$ es una variedad Riemanniana, $E=TM$, y $\nabla$ es la conexión de Levi-Civita. Si fuera siempre posible encontrar una sección así, podrías comenzar con una base ortonormal para $T_pM$ y extenderla a un marco ortonormal paralelo. Esto es imposible a menos que la métrica Riemanniana sea plana.

Answer 3

De hecho, la afirmación está lejos de ser cierta: Genéricamente, dado un haz vectorial $E \to M$ equipado con una conexión de haz vectorial $\nabla$ y una elección de punto $p \in M$, el único vector $v \in E_p$ que admite una extensión a una sección paralela $s \in \Gamma(E\vert_U)$ a cualquier vecindario $U \ni p$ es el vector cero.

De hecho, se sigue de la definición de la curvatura $$R \in \textstyle{\Gamma\left(\bigwedge^2 T^*M \otimes \operatorname{End}(E)\right)}$$ de $\nabla$ que aniquila cualquier sección paralela (local) $s$ de $E$, es decir, que $$R(\,\cdot\,,\,\cdot\,)(s) = 0$$ ---es decir, que $R$ es degenerada.

Ejemplo Para cualquier campo vectorial (local) $X$ en $S^n$, la curvatura $R$ de la conexión de Levi-Civita de la métrica redonda satisface $$R(\,\cdot\,,\,\cdot\,)(X) = X^\flat \wedge \operatorname{id}$$ . En particular (para $n > 1$), si $\nabla X = 0$ entonces $X = 0$.

Tal vez vale la pena mencionar que la afirmación es cierta en el caso especial de que $\dim M = 1$, al menos localmente (y globalmente si $M$ es simplemente conexo). Después de todo, si $M$ es de dimensión $1$, hay prácticamente un único camino a lo largo del cual se puede transportar un vector de forma paralela.