Calculando $\int_0^\pi \frac{1}{a+b\sin^2(x)} dx$

Question

¿Cómo calculo esta integral? Se da $a \gt b$.

$$\int_0^\pi \frac{1}{a+b\sin^2(x)} dx $$

Estoy confundido ya que WolframAlpha dice, por un lado, que $F(\pi) = F(0) = 0 $ , pero con algunos valores aleatorios no es 0.

¿Qué estoy omitiendo?

Tenga en cuenta que no estoy realmente interesado en una antiderivada completa, estoy más interesado en un $G(a,b) = F(\pi) - F(0) = \, ... $

Answer 1

La antiderivada $$ F(x) = \frac{1}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}} \arctan\left(\frac{\sqrt{a+b} \tan x}{\sqrt{a}}\right) $$ dada por WA no es continua en todo el intervalo $[0,\pi]$ (porque contiene $\tan x$ que salta en $x=\pi/2$), y por eso $F(\pi)-F(0)$ no da la respuesta correcta. (Claramente, la respuesta "cero" es incorrecta, ¡ya que el integrando es positivo!)

Por otro lado, $F(x)$ es continua en el intervalo $(-\pi/2,\pi/2)$, y se extiende continuamente a los extremos tomando límites, y su integrando tiene un período $\pi$ por lo que podemos integrar sobre cualquier intervalo de longitud $\pi$ sin cambiar el valor de la integral. Así que $$ \int_0^\pi \frac{1}{a+b\sin^2(x)} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{a+b\sin^2(x)} dx = \lim_{x\to(\pi/2)^-} F(x) - \lim_{x\to(-\pi/2)^+} F(x) = \frac{\pi}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}} $$ funciona.

Puedes encontrar algunos artículos sobre "problemas" de este tipo en sistemas de álgebra computacional si buscas en la web por "D. J. Jeffrey continuo".

Answer 2

Supongamos que buscamos evaluar $$\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{a+b\sin^2 x} dx.$$

Pon $z = \exp(ix)$ de manera que $dz = i\exp(ix) \; dx$ y por lo tanto $\frac{dz}{iz} = dx$ para obtener $$\frac{1}{2} \int_{|z|=1} \frac{1}{a+b(z-1/z)^2/4/(-1)}\frac{dz}{iz} \\ = \frac{1}{2} \int_{|z|=1} \frac{4}{4a-b(z-1/z)^2}\frac{dz}{iz} \\ = \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \frac{z}{4a-b(z-1/z)^2}\frac{dz}{z^2} \\ = \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \frac{z}{4az^2-b(z^2-1)^2} dz \\ = \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \frac{z}{-bz^4+(2b+4a)z^2-b} dz.$$

Los polos aquí son todos simples y se encuentran en $$\rho_{1,2,3,4} = \pm\sqrt{\frac{2a+b}{b} \pm \frac{2\sqrt{a^2+ab}}{b}}.$$

Reescribimos esto como $$\rho_{1,2,3,4} = \pm\sqrt{1+\frac{2a}{b} \pm \frac{2\sqrt{a^2+ab}}{b}}.$$

Con $a$ y $b$ positivos los primeros dos polos claramente no están dentro del contorno (módulo mayor que uno). Eso deja $$\rho_{3,4} = \pm\sqrt{1+\frac{2a}{b} - \frac{2\sqrt{a^2+ab}}{b}}.

Ahora tenemos $$1+\frac{2a}{b} - \frac{2\sqrt{a^2+ab}}{b} < 1$$ y también $$1+\frac{2a}{b} - \frac{2\sqrt{a^2+ab}}{b} > 0$$ ya que $$(b+2a)^2 = b^2+4ab+4a^2 > 4(a^2+ab)$$ y por lo tanto estos polos están realmente dentro del contorno.

Los residuos están dados por $$\left. \frac{z}{-4bz^3+2(2b+4a)z} \right|_{z=\rho_{3,4}} = \left. \frac{1}{-4bz^2+2(2b+4a)} \right|_{z=\rho_{3,4}}.$$

Esto es $$\frac{1}{-4b-8a+8\sqrt{a^2+ab} +2(2b+4a)} = \frac{1}{8\sqrt{a^2+ab}}.$$

Se sigue que el valor deseado es $$\frac{2}{i}\times 2\pi i \times \frac{2}{8\sqrt{a^2+ab}} = \frac{\pi}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}}.