Cómo $x^4$ es estrictamente convexa de la función?

Question

Oigo que $f(x)=x^4$ es estrictamente una función convexa $\forall x \in \Re$. Sin embargo, la estricta convexidad condición es que la segunda derivada sea positiva $\forall x \in \Re$. Para la mencionada función de la segunda derivada es cero en $x=0$ que está en el dominio de $f$. Por lo tanto, no debería ser una estricta función convexa. Pero estoy bastante seguro de que es porque yo lo escuché en el Prof. Boyd de la conferencia.

Me estoy perdiendo algo que es obvio?

Answer 1

Si la segunda derivada es estrictamente positivo, entonces la función es estrictamente convexa. Sin embargo, lo contrario no tiene que ser verdadero. Una función de $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es estrictamente convexa si y sólo si para todos los $x,y\in\Bbb R$ $x\neq y$ hemos $$f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)<tf(x)+(1-t)f(y)$$ for all $0<t<1$. $f(x)=x^4$ es, de hecho, estrictamente convexa.

Este es un error común. Muchos cometen el mismo error con respecto a la relación entre el positivo de la primera derivada y el aumento de las funciones (el primero implica lo segundo, pero no viceversa). Ver aquí y aquí, por ejemplo, de las personas que hacen este tipo de errores.

Answer 2

Estricta Convexidad es al $f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$. El hecho de que $f''(x)\geq 0$ implica $f$ es convexa, sin embargo, esto no implica necesariamente que $f$ no es estrictamente convexa. En el caso de $f(x)=x^4$, consigue $f''(x)=12x^2\geq 0$ pero en realidad $f$ es estrictamente convexa. De hecho, toda la línea de segmento se encuentra por encima de la curva.

Answer 3

Segunda derivada positiva es fuerte convexidad. Hay una sutil diferencia entre la convexidad estricta y fuerte convexidad. Una muy convexo función es estrictamente convexa, pero a la inversa no tiene que ser verdadero.

La condición de estricta convexidad estricta de Jensen desigualdad como señala Alex R.