Considere un proceso de Poisson no homogéneo, $N(t)$ con tasa $r(t)$. La distribución de probabilidad del primer evento $T_1$, condicionado al hecho de que esto ocurra en un tiempo finito (sin asumir necesariamente que $r(t)$ sume a infinito) está dada por \begin{equation} f_{T_1}(t)=\frac{r(t)e^{-\int_0^tr(u)du}}{\mathbb{P}(T_1<\infty)} \end{equation} Bajo la suposición de que $f_{T_1}$ y $r(t)$ son funciones continuas, si conozco $f_{T_1}$ ¿puedo estar seguro de que $r(t)$ y el proceso de Poisson no homogéneo subyacente están determinados de forma única?
Respuesta
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Consideremos la función acumulada $F_{T_1}$ relacionada con $f_{T_1}$ ($F_{T_1}$ y $f_{T_1}$ están biyectivamente relacionadas) y definamos $R(t)=\int_0^tr(u)du$. Tenemos que $R'(t)=r(t)$ y $R(0)=0 $
Puedes demostrar fácilmente (al integrar $f_{T_1}$ y notar que ($R'(t)e^{R(t)}=(e^{R(t)})'$) que
$F_{T_1}(t) = \frac{1-e^{-R(t)}}{1-e^{-L}}$ (1)
donde L es el límite $R(\infty)$ y $1-e^{-L}=P(T_1<\infty)$
Y por lo tanto, $R(t)=-ln(1-F_{T_1}(t)(1-e^{-L})$
Puedes ver que si eliges cualquier $L>0$ la parte derecha de esta expresión tiene a L como límite cuando t se acerca a $\infty$
Así se define una función $R_L(t)$ que es válida para la ecuación 1
Por lo tanto, tienes una infinidad de funciones $R_L(t)$ (y sus derivadas $r_L(t)$) que proporcionan tu distribución $f_{T_1}$. Tienes una función para cada $P(T_1<\infty)$ por lo que solo una de ellas tal que $P(T_1<\infty)=1$.
