¿Es la constante de Lipschitz del operador de Hutchinson el máximo de la constante de Lipschitz de sus componentes?

Question

Sea $(X,d)$ un espacio métrico, definimos $F(X)$ como el conjunto de todos los subconjuntos compactos no vacíos de $X$, para $A,B \in F(X)$ definimos $$d(A,B) = \sup_{a \in A} \, \inf_{b \in B} d(a,b)$$ Ahora definimos la métrica de Hausdorff $h$ como $h(A,B) = \max \{ d(A,B),d(B,A) \}$. Para cualquier función $f:X \rightarrow X$ definimos la función $f:F(X) \rightarrow F(X):A \mapsto f(A)$. No es difícil demostrar que si $f$ es una contracción en $X$, entonces la función correspondiente en $F(X)$ también es una contracción con la misma constante de Lipschitz. Ahora, si $w_1, w_2, ..., w_k$ son todas contracciones en $X$ con constantes de Lipschitz $s_1,s_2,...,s_k$, muestra que $W:F(X) \rightarrow F(X):A \mapsto \bigcup_{n=1}^{k} w_{n}(A)$ también es una contracción con constante de Lipschitz $s = \max s_{n}$.

He logrado demostrar que $W$ es una contracción cuya constante de Lipschitz es a lo sumo $s$, pero no he podido demostrar que realmente sea igual a $s$. ¿Cómo puedes probar esto? ¿Es siquiera cierto?

Varios artículos afirman que es el caso, como https://zaguan.unizar.es/record/108540/files/texto_completo.pdf, pero ninguno parece tener una prueba. El artículo original de Hutchinson (https://maths-people.anu.edu.au/~john/Assets/Research%20Papers/fractals_self-similarity.pdf) solo demuestra la desigualdad y ni siquiera menciona que la constante de Lipschitz sea igual a $s$.

Answer 1

Todo lo que necesitamos hacer es demostrar que, si $w_1, w_2$ son aplicaciones Lipschitz de $F(X) \to F(X)$, con constante $s_1, s_2$ respectivamente (aquí no es necesario que sean contracciones, ni que se deriven de aplicaciones Lipschitz de $X$ a $X$), entonces $W : F(X) \to F(X) : A \mapsto w_1(A) \cup w_2(A)$ es Lipschitz con constante $\max\{s_1, s_2\}$. La unión más grande se seguirá de esto por inducción.

Ayudará si usamos una reformulación alternativa de la métrica de Hausdorff. Recordemos que la métrica de Hausdorff $H$ se puede expresar de la siguiente manera: $$H(A, B) = \inf\{\varepsilon \ge 0 : A \subseteq B_\varepsilon \text{ y } B \subseteq A_\varepsilon\},$$ donde $$A_\varepsilon = \{x \in X : d(x, A) \le \varepsilon\},$$ y similar para $B_\varepsilon$. Notemos que \begin{align*} d(x, A_1 \cup A_2) &= \inf_{x \in A_1 \cup A_2} d(x, a) \\ &= \min\left\{\inf_{x \in A_1} d(x, a), \inf_{x \in A_1} d(x, a)\right\} \\ &= \min\{d(x,A_1), d(x, A_2)\}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} (A_1 \cup A_2)_\varepsilon &= \{x \in X : d(x, A_1 \cup A_2) \le \varepsilon\} \\ &= \{x \in X : \min\{d(x, A_1), d(x, A_2)\} \le \varepsilon\} \\ &= \{x \in X: d(x, A_1) \le \varepsilon \text{ o } d(x, A_2) \le \varepsilon\} \\ &= \{x \in X: d(x, A_1) \le \varepsilon\} \cup \{x \in X: d(x, A_2) \le \varepsilon\} \\ &= (A_1)_\varepsilon \cup (A_2)_\varepsilon. Por lo tanto, \begin{align*} H(A_1 \cup A_2, B_1 \cup B_2) &= \inf\{\varepsilon \ge 0 : A_1 \cup A_2 \subseteq (B_1)_\varepsilon \cup (B_2)_\varepsilon \text{ y } \\ &\hspace{60pt} B_1 \cup B_2 \subseteq (A_1)_\varepsilon \cup (A_2)_\varepsilon\} \\ &\le \inf\{\varepsilon \ge 0 : A_1 \subseteq (B_1)_\varepsilon \text{ y } A_2 \subseteq (B_2)_\varepsilon \text{ y } \\ &\hspace{60pt} B_1 \subseteq (A_1)_\varepsilon \text{ y } B_2 \subseteq (A_2)_\varepsilon\} \\ &= \max\{\inf\{\varepsilon \ge 0 : A_1 \subseteq (B_1)_\varepsilon \text{ y } B_1 \subseteq (A_1)_\varepsilon\}, \\ & \hspace{33pt} \inf\{\varepsilon \ge 0 : A_2 \subseteq (B_2)_\varepsilon \text{ y } B_2 \subseteq (A_2)_\varepsilon\}\} \\ &= \max\{H(A_1, B_1), H(A_2, B_2)\}, \end{align*} donde la primera desigualdad se sigue del hecho de que el segundo conjunto está contenido en el primero. Finalmente, esto nos dice que \begin{align*} H(W(A), W(B)) &= H(w_1(A) \cup w_2(A), w_1(B) \cup w_2(B)) \\ &\le \max\{H(w_1(A), w_1(B)), H(w_2(A), w_2(B))\} \\ &\le \max\{s_1H(A, B), s_2H(A, B)\} \\ &= \max\{s_1, s_2\} H(A, B). Así, $W$ es Lipschitz con constante (como máximo) $\max\{s_1, s_2\}$.