Esta pregunta está motivada por mostrar que la categoría $\mathbf{Sheaves} (X)$ de la categoría de subconjuntos abiertos no vacíos a la categoría de grupo abeliano $\mathbf{Ab}$ tiene suficientes objetos inyectivos.
Prerequisito
Sea $\mathscr{F} \in \mathbf{Sheaves} (X)$ y sea $F = \underset{\rightarrow U}{\operatorname{colimit}} \mathscr{F}(U)$. Ahora permítanme señalar qué es $F$. Sea $\mathfrak{S}$ el conjunto de subconjuntos abiertos no vacíos de $X$. Entonces, con el conocimiento de la teoría de categorías, podemos tomar coproducto y coigualador para obtener colímites. Ver Esto. Así que $F = \bigoplus_\limits{S \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}(S) / A$ y $\mathscr{F}(S) \rightarrow F$ es la composición de una inyección canónica y un cociente, donde $A$ está generado por $$(a)_S - (f(a))_\mathrm{Codom\{f\}}$$ El subíndice indica en qué coordenada del sumando está el elemento. $a \in \mathscr{F}(S), S \in \mathfrak{S}$ y $f$ es un morfismo inducido por una inclusión en $\mathfrak{S}$.
Entonces mi pregunta es
¿Cómo mostrar que $a \in \mathscr{F}(S) \mapsto 0 \in F$ a través del mapa en el cono universal del colímite si y solo si existen $a'\in \mathscr{F}(S')$ y $f_1 $, $f_2$ inducidos por inclusiones tales que $$f_1(a') = a$$ y $$f_2(a') = 0$$
La parte del si es fácil ya que $(a)_S = [(a')_{S'} - (f_2(a'))] - [ (a')_{S'} - (f_1(a'))_S] \in A$. Para mostrar la parte del solo si, quizás debamos mostrar que si $(a)_S$ puede descomponerse en la suma de $(a')_{S'} - (f(a'))_\mathrm{Codom\{f\}}$, entonces puede descomponerse en
$$[(a')_{S'} - (f_2(a'))] - [ (a')_{S'} - (f_1(a'))_S]$$
O más específicamente, sea $\mathfrak{S}_x$ el conjunto de todos los subconjuntos que contienen a $x \in X$. Mostrar que $a \in \mathscr{F}(S_x)$ se mapea a cero en $\underset{\rightarrow}{\mathrm{Lim}} \mathscr{F}(\mathfrak{S}_x)$ si y solo si $f(a) = 0$ para algún $f$ inducido por una inclusión. Esta proposición se acerca más a mi propósito original.
