Tengo problemas para resolver este problema y creo que me beneficiaría si alguien pudiera ayudarme a simplificarlo para quizás darme un punto de partida. Intenté aplicar la Ley de DeMorgan a la primera línea, pero no sé qué hacer a continuación o si eso es correcto.
$\exists x(A(x) \wedge \neg B(x))$
$\forall x(A(x) \rightarrow C(x))$
$\therefore \exists x(C(x) \wedge \neg B(x))$
$ \def\fitch#1#2{\quad\begin{array}{|l}#1\\\hline#2\end{array}} \def\Ae#1{\qquad\mathbf{\forall E} \: #1 \\} \def\Ai#1{\qquad\mathbf{\forall I} \: #1 \\} \def\Ee#1{\qquad\mathbf{\exists E} \: #1 \\} \def\Ei#1{\qquad\mathbf{\exists I} \: #1 \\} \def\R#1{\qquad\mathbf{R} \: #1 \\} \def\ci#1{\qquad\mathbf{\land I} \: #1 \\} \def\ce#1{\qquad\mathbf{\land E} \: #1 \\} \def\oi#1{\qquad\mathbf{\lor I} \: #1 \\} \def\oe#1{\qquad\mathbf{\lor E} \: #1 \\} \def\ii#1{\qquad\mathbf{\to I} \: #1 \\} \def\ie#1{\qquad\mathbf{\to E} \: #1 \\} \def\be#1{\qquad\mathbf{\leftrightarrow E} \: #1 \\} \def\bi#1{\qquad\mathbf{\leftrightarrow I} \: #1 \\} \def\qi#1{\qquad\mathbf{=I}\\} \def\qe#1{\qquad\mathbf{=E} \: #1 \\} \def\ne#1{\qquad\mathbf{\neg E} \: #1 \\} \def\ni#1{\qquad\mathbf{\neg I} \: #1 \\} \def\IP#1{\qquad\mathbf{IP} \: #1 \\} \def\x#1{\qquad\mathbf{X} \: #1 \\} \def\DNE#1{\qquad\mathbf{DNE} \: #1 \\} $
La primera premisa dice que algo satisface $A(x)$ y $\neg B(x)$. Por lo tanto, podemos empezar a hacer una instancia de sustitución para ello (dirigiéndonos hacia el uso de Eliminación Existencial). En mi caso, es a. Luego, la segunda premisa dice que todo satisface $A(x) \to C(x)$. Podemos usar Eliminación Universal y elegir ese mismo nombre a. Esa decisión habilita el uso de otras reglas de inferencia.
Como siguiente paso, necesitarás proporcionar pruebas de $C(a)$ y $\neg B(a)$.
$ \fitch{ 1.\, \exists x(A(x) \land \neg B(x))\\ 2.\, \forall x(A(x) \to C(x)) }{ \fitch{3.\, A(a) \land \neg B(a)}{ 4.\,A(a) \to C(a) \Ae{2} \vdots\\ k.\,C(a)\\ \vdots\\ l.\, \neg B(a)\\ \vdots }\\ m. \exists x(C(x) \land \neg B(x)) } $
¿Puedes ver cómo rellenar los espacios en blanco?
$\exists x(A(x) \wedge \neg B(x))$ premisa
$\forall x(A(x) \rightarrow C(x))$ premisa
$A(k) \wedge \neg B(k)$ por instanciación existencial, 1
$A(k) \rightarrow C(k)$ por instanciación universal, 2
$A(k)$ por eliminación de conjunción, 3
$C(k)$ por modus ponens, 4,5
$\neg B(k) \wedge A(k)$ por conmutatividad, 3
$\neg B(k)$ por eliminación de conjunción, 7
$C(k) \wedge \neg B(k)$ por introducción de conjunción, 6,8
$\exists x(C(x) \wedge \neg B(x))$ por generalización existencial, 9
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