Comparando tasas de enfriamiento

Question

Hay 2 esferas metálicas A y B. La masa de A es tres veces la masa de B. Ambas esferas se calientan a la misma alta temperatura desde la misma temperatura inicial. Las esferas están térmicamente aisladas entre sí. Tengo que encontrar la tasa de enfriamiento, así que intenté la Ley de Enfriamiento de Newton, pero no parece tener en cuenta la relación entre las masas, y da una respuesta incorrecta (¿es válida la LEC para altas temperaturas?). Pensé en la fórmula u = eAT^4, pero no estoy seguro de cómo usarla. Por favor, sugiere un enfoque.

Answer 1

La ley de enfriamiento de Newton es un corolario de la ley de conducción del calor de Fourier:

$$q=-\kappa \nabla T,$$

donde $q$ es el flujo de calor, $\kappa$ la conductividad térmica y $\nabla T$ el gradiente de temperatura (en una sola dimensión $\nabla T=\frac{dT}{dx}$). En esencia, esta ley nos dice que el calor fluye de lo caliente a lo frío y que el flujo de calor es proporcional al gradiente espacial de temperatura.

Reformulándolo para un cuerpo a temperatura $T(t)$, enfriándose en un entorno más frío a una temperatura constante $T_0$, obtenemos la ley de enfriamiento de Newton:

$$\frac{dQ}{dt}=-hA[T(t)-T_0],$$

con $Q$ la energía térmica del objeto, $h$ el coeficiente de transferencia de calor y $A$ la superficie total del objeto.

Cuando el objeto pierde una cantidad infinitesimal de energía térmica $dQ$ también disminuye un poco la temperatura:

$$dQ=mc_pdT,$

donde $m$ es la masa del objeto y $c_p$ es la capacidad calorífica específica del objeto.

Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos:

$$mc_p\frac{dT}{dt}=-hA[T(t)-T_0],$$

Integrando entre $0,T_1$ y $t,T_2$ obtenemos:

$$\ln\frac{T_2-T_0}{T_1-T_0}=-\frac{hA}{mc_p}t,$

$$\frac{T_2-T_0}{T_1-T_0}=e^{-\alpha t},$$

con:

$$\alpha=\frac{hA}{mc_p}$$

Hay 2 esferas metálicas A y B. La masa de A es tres veces la masa de B.

Ahora tu tarea es calcular la influencia de $m$ en $\alpha$, teniendo en cuenta que $m$ también tiene un efecto en $A$. En el caso de dos esferas con $m_A=3m_B$ debería ser fácil calcular la razón de $\alpha_A$ y $\alpha_B$, lo que te da la razón de la tasa de enfriamiento de las dos esferas.

Answer 2

Aislamiento térmico te dice que vayas por Stefan. La ley de enfriamiento de Newton es para la transferencia por convección. No confundas cosas. Quizás te perdiste el término "hecho del mismo material", deberías concluir la relación en su área superficial.