Método de la bola y la urna (problemas de conteo)

Question

¿Cuántos tríos ordenados $(a, b, c)$ de enteros positivos existen con la propiedad de que $abc = 500$?

Dado que $500 = 2^2 5^3$

Creo que esto se puede resolver usando Ball and Urn

sea $a = 2^{x_1}5^{y_1}$ y luego los subíndices aumentan en $1$ para $b, c$.

Hay:

$$x_1 + x_2 + x_3 = 2$$

$$y_1 + y_2 + y_3 = 3$$

Contamos cada uno por separado.

Hay 3 "contenedores", $x_1, x_2, x_3$.

Entonces, ¿cuáles son los objetos? ¿Estoy confundido?

Answer 1

Creo que esto es lo mismo que el método de la bola y la urna:

Podemos distribuir los dos factores de $2$ entre $a,b,c$ usando el método de bolas y barras: cada arreglo corresponde a un arreglo de $\{\star,\star,|,|\}$. Hay $\binom{4}{2}$ maneras de organizar estos.

Podemos distribuir los tres factores de $5$ entre $a,b,c$ usando el método de bolas y barras: cada arreglo corresponde a un arreglo de $\{\star,\star,\star,|,|\}$. Hay $\binom{5}{2}$ maneras de organizar estos.

Answer 2

Ampliando la respuesta de robjohn.

Los 'bins' (o urnas) son los factores $a, b, c$.

El número de 'balls' se cuentan según los exponentes de $2$. Dado que $500= 2^25^3$ hay dos 'balls' para distribuir entre las tres urnas ($a,b,c$) para determinar qué exponente de $2$ podría recibir cada una.

$$\begin{array}{lll}a & b & c \\ \hline 2^2 & 2^0 & 2^0 & \ast\ast \vert\vert \\ 2^1 & 2^1 & 2^0 & \ast\vert\ast \vert \\ 2^1 & 2^0 & 2^1 & \ast\vert\vert\ast \\ 2^0 & 2^2 & 2^0 & \vert\ast\ast\vert \\ 2^0 & 2^1 & 2^1 & \vert\ast\vert\ast \\ 2^0 & 2^0 & 2^2 & \vert\vert\ast\ast \end{array}\qquad \dbinom{2+2}{2,2}=\dfrac{4!}{2!2!} 6$$

Y de manera similar contamos las formas en que los exponentes de $5$ pueden ser asignados contando las permutaciones de $3$ estrellas y $2$ barras.$$\dbinom{3+2}{3,2} = \dfrac{5!}{3!2!}=10$$