¿Cómo puedo demostrar que para todo $x\geq 3$, $\log \log (x) \leq \log (\log(x-1)) + 1$?
Cuando diferencio para ver si la lhs sigue avanzando, pierdo la constante en la lhs y no obtengo nada significativo. También intenté usar algunas desigualdades conocidas como Jensen para funciones cóncavas pero una aplicación ingenua da como resultado una desigualdad en la otra dirección que es bastante inútil para este problema.
Cualquier ayuda se agradece, ¡gracias!
¿Cómo puedo demostrar que para todo $x\geq 3$, $\log \log (x) \leq \log (\log(x-1)) + 1$?
En esta respuesta, asume que $\log$ significa el logaritmo natural con base $e$.
Dado que $\log A-\log B = \log\frac{A}{B}$, tu desigualdad es equivalente a $$ \log \frac{\log(x-1)}{\log (x)}=\log (\log(x-1))-\log \log (x)\ge -1=\log\frac{1}{e}\;, $$ lo cual es, por la monotonicidad de $\log$: $$ \frac{\log(x-1)}{\log (x)}\ge \frac{1}{e}\;. $$ Por lo tanto, quieres demostrar que para todo $x\ge 3$: $$ f(x) = e\log(x-1)-\log(x)\geq 0\;. $$ Ahora, para todo $x\ge 3$: $$ f'(x) = \frac{e}{x-1}-\frac{1}{x} = \frac{(e-1)x+1}{x(x-1)}\;>0 $$ Pero $$ f(3) = e\log 2 - \log 3>0. $$
Un enfoque más sencillo es posible :
$\log(\log(x)) \leq \log(\log(x-1))+1 \implies \log(x) \leq e \cdot log(x-1) \implies x \leq (x-1)^e $
A partir de aquí puedes utilizar las derivadas de $x$ y $(x-1)^e$ para demostrar que la desigualdad es cierta. De hecho, la desigualdad se verifica en 3 y la derivada de la parte derecha siempre es mayor cuando $x \geq 3$.
No estoy seguro de cuánto te ayudará esta solución; es un método relativamente simple y elemental accesible para tu estudiante habitual de Cálculo I, en lugar de recurrir a ideas más "avanzadas" como la desigualdad de Jensen. Aún así, espero que sea útil.
Elevar ambos lados al $e$ dos veces. Después del primer paso,
$$\log(x) \stackrel{(?)}\le e\log(x-1)$$
Hazlo de nuevo, entonces
$$x \stackrel{(?)}\le e^{e \log(x-1)} = (e^{\log(x-1)})^e = (x-1)^e$$
Por lo tanto, $x \le (x-1)^e$ es una desigualdad equivalente a la dada. O, aún mejor, $f(x) := x - (x-1)^e \le 0$ es otra equivalente.
Observa que $f'(x) = 1 - e(x-1)^{e-1}$. Si igualamos $f'(x) = 0$, entonces vemos que
$$x = 1 + \left( \frac{1}{e} \right)^{1/(e-1)} \approx 1.56$$
que es el único cero de $f$: $f(x) > 0$ a la izquierda de $x$, y $f(x) < 0$ a la derecha.
Esto significa esencialmente que $f$ tiene una forma aproximadamente "parabólica hacia abajo". Queremos asegurarnos de que $f(x) \le 0$ siempre que $x \ge 3$. De hecho, podemos hacerlo incluso mejor. ¿Cuándo es $f(x) = 0$? Revisando el gráfico sugiere que es alrededor de $2.3$; al revisar el más fácil $x=2.5$, por ejemplo, vemos que $f(x) < 0$ allí ($f(2.5) \approx -0.51$). Y por supuesto puedes verificar $f(2)$ para ver que $f(2) = 1 > 0$, lo que asegura que $f(x) = 0$ para algún $x \in (2,2.5)$ por el teorema del valor intermedio.
Dado que $f'(x) < 0$ para $x \gtrsim 1.56$, estamos seguros de que no habrá ceros para $x \gtrsim 1.56$ tampoco. (Después de todo, $f$ es continua y diferenciable en su dominio, y su derivada solo tiene una raíz real. Ser capaz de volver a ser positivo y violar la desigualdad requeriría que hubiera un "punto de inflexión" donde $f'(x)=0$, o que $f$ de repente "salte" por encima del eje $x$.)
Por lo tanto, sabemos que $f(x) := x - (x-1)^e \le 0$ siempre que $x \ge 2.5$. Podemos volver a nuestra desigualdad original invirtiendo nuestros pasos: llevar el $(x-1)^e$ al otro lado, y luego tomar el logaritmo de cada lado dos veces.
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