Convergencia Uniforme Implica Convergencia $L^2$ y Convergencia $L^2$ Implica Convergencia $L^1$

Question

Algunos de los libros que hablan sobre la convergencia dicen que la convergencia uniforme implica la convergencia en $L^2$ y la convergencia en $L^2$ implica la convergencia en $L^1$, ambos tomados sobre un intervalo acotado I. Aunque entiendo cómo eso podría ser cierto intuitivamente, estoy luchando por ver la demostración de eso. ¿Alguna idea?

EDICIÓN: Para que la Convergencia Uniforme implique la convergencia en $L^2$, la convergencia uniforme y el intercambio de límites significa $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b}(f(x)-f_n(x)) = 0$ y a partir de ahí, no estoy seguro de qué hacer?

Para la convergencia en $L^2$, en realidad no sé por dónde empezar tampoco.

Answer 1

Si $f_n$ converge a $f$ de forma uniforme (es decir, $\sup_{x \in I}|f_n(x)-f(x)| \to 0$), entonces $$\|f_n-f\|^2_2=\int_I |f_n(x)-f(x)|^2\,dx \leq m(I) \left(\sup_{x \in I}|f_n(x)-f(x)|\right)^2 \to 0,$$ por lo tanto $f_n$ converge a $f$ en $L^2$.

Si $f_n$ converge a $f$ en $L^2(I)$, entonces mediante la desigualdad de Hölder obtenemos $$ \|f_n-f\|_1=\int_I |f_n(x)-f(x)|\,dx \leq (m(I))^{\frac12} \|f_n-f\|_2 \to 0, $$

así que $f_n$ converge a $f$ en $L^1$.

---

Es importante notar que estos resultados (con la misma demostración) son válidos en un contexto mucho más general, como se señala en la otra respuesta, traté de dar la demostración más práctica posible.

Answer 2

En un espacio de medida finito, la convergencia en $L^q$ implica la convergencia en $L^p$ para cualquier $1\leq p \leq q \leq \infty$. Tomemos $\infty>q>p$, por lo que $q/p > 1$. Esto se sigue de la desigualdad de Holder, $$ ||f||_p^p = \int |f|^p\,d\mu = \int |f|^p \cdot 1\,d\mu \leq \left(\int (|f|^{p})^{q/p}\,d\mu\right)^{p/q}\left(\int 1\,d\mu \right)^{1-p/q}= ||f||_q^p \mu(X)^{1-p/q} $$ por lo tanto, si $f \to 0$ en $L^q$ entonces $f \to 0$ en $L^p$.

El caso $q=\infty$ es más sencillo, simplemente usando $|f| \leq ||f||_\infty$ casi en todas partes, $$ ||f||_p^p = \int |f|^p\,d\mu \leq \mu(X) ||f||_\infty^p $$ y nuevamente el resultado se sigue.