Demostrando $abcd+3\geq a+b+c+d$

Question

Si $a,b,c,d$ son números no negativos y $a^2+b^2+c^2+d^2=3$ prueba que $$abcd+3\ge a+b+c+d$$

La desigualdad no es tan simple como parece. La parte interesante es que la igualdad ocurre cuando $a=0,b=c=d=1$ hasta permutación. (No sé si hay más casos de igualdad).

Intenté reescribir la desigualdad como $$a^2+a(bcd-1)+b^2+c^2+d^2-b-c-d\ge 0$$. Como es un cuadrático en $a$, basta con mostrar que el discriminante $$\Delta_a={(bcd-1)}^2-4(b^2+c^2+d^2-b-c-d)\le 0$$ lo cual lamentablemente es incorrecto (cuando $a=\sqrt{3},b=c=d=0$).

P.D .: No estoy al tanto del uso de multiplicadores de Lagrange

Es de aquí

Actualización: Una respuesta ha sido publicada en el enlace de arriba (AOPS) similar a la respuesta del Dr. Mathva

Answer 1

Debido a la simetría, asumimos wlog que $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$. Dado que usaré este hecho más adelante, lo estoy probando antes de los casos:

Lema: Tenemos que $2\geqslant a+d$.

De hecho, esto se sigue del Cauchy-Schwarz: $$2= 2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}}\geqslant 2\sqrt{\frac{a^2+3d^2}{3}}=\sqrt{1+\frac13}\cdot \sqrt{a^2+3d^2}\geqslant a+d$$

Ahora consideraremos algunos casos dependiendo de la posición del número $1$:

• Caso 1: $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$. Observa que se puede reescribir la desigualdad como $$3+abcd-(a+b+c+d)=(1-a)(1-b)+(1-c)(1-d)+(1-ab)(1-cd) $$ Lo cual es claramente positivo.

• Caso 2: $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$. Si $ab\geqslant 1$, podríamos proceder como en el siguiente caso. Así que trabajaremos con $ab<1$. Por lo tanto \begin{align*}3+abcd-(a+b+c+d)&=(1-a)(1-b)+(1-c)(1-d)+(1-ab)(1-cd)\\&\geqslant \underbrace{(1-a)}_{<0}(1-b)+(1-c)(1-d)\\&\geqslant (1-a)(1-c)+(1-c)(1-d)\\&=(1-c)(2-(a+d))\geqslant 0 \end{align*} Donde la última desigualdad se sigue del lema.

• Caso 3: $a\geqslant b\geqslant 1\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$. Esto implica que \begin{align*}6+2abcd-2(a+b+c+d)&=a^2+b^2+c^2+d^2+3+2abcd-2(a+b+c+d)\\ &=(a-1)^2+(b-1)^2+(c+d-1)^2+2cd(ab-1)\geqslant 0\end{align*} O, equivalentemente $3+abcd\geqslant a+b+c+d$.

• Caso 4: $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1\geqslant d\geqslant 0$. Como @dezdichado notó, este caso es directo, ya que obliga directamente a $a=b=c=1, d=0$ debido a la restricción $a^2+b^2+c^2+d^2=3$.

• Caso 5: $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 1$. Claramente imposible, ya que esto daría como resultado $a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant 4>3$.

¡Hecho!

Answer 2

Dado que $a^2+b^2+c^2+d^2 = 3$ define un conjunto compacto en $\mathbb{R}^4$, $f(a,b,c,d)=abcd+3-a-b-c-d$ tendrá un mínimo y máximo global sobre ese conjunto, que ocurrirá (puede ser fácilmente justificado) en puntos críticos del Lagrangiano $$ L(a,b,c,d,\lambda) = abcd+3-a-b-c-d -\lambda(a^2+b^2+c^2+d^2-3) $$

Entonces, simplemente calcula los puntos críticos, calcula el valor de $f$ sobre cada uno de estos puntos y obtén el mínimo global. Si el mínimo global es $\ge 0$, has terminado.

Al calcular los puntos críticos, obtendrás algunas soluciones complejas, algunas soluciones con componentes negativos pero, al final, las soluciones relevantes son las que ya mencionaste y también $a=b=c=d=\frac{\sqrt{3}}{2}$. El valor mínimo de $f$ (incluso admitiendo valores negativos para $a,b,c,d$) es cero (y el máximo es $\frac{57}{16}+2\sqrt{3}$).

Editar: Me faltó un punto crítico, pero el resultado sigue siendo válido.

Answer 3

Este es un comentario sobre la respuesta del Dr. Mathva, que puede parecer muy misteriosa al principio pero se vuelve más transparente cuando se considera un problema más simple:

Si $a, b \geq 0$ con $a^2 + b^2 = 1$, demuestra que $$ ab+1 \geq a+b \,.$$

(Es el problema de la pregunta si se impone $c = d = 1$.)

Aquí es claro que puedes factorizarlo como $(a-1)(b-1) \geq 0$, por lo que naturalmente se te lleva a distinguir casos según si $a, b \geq 1$ o $\leq 1$. Si ambos son $\geq 1$ o ambos son $\leq 1$, ya hemos terminado. Así que supongamos sin pérdida de generalidad que $a \geq 1 \geq b$. Entonces sustituye la restricción para obtener $$ab + a^2+b^2 \geq a+b \,.$$ Ahora juega un poco para recuperar cada término en el RHS desde el LHS. Debido a que $a \geq 1$, simplemente podemos eliminar los factores $a$ del LHS. Es decir, $ab \geq b$ y $a^2 \geq a$, y ya hemos terminado.

Al considerar este problema más simple, puedes entender más fácilmente la idea de asumir sin pérdida de generalidad que $a \geq b \geq c \geq d$, y de distinguir casos según la posición del $1$.

Answer 4

Consulta, en el siguiente enlace, nuestra extensión a n variables reales (Problema GMA 494, página 57, con nuestra solución): https://ssmr.ro/gazeta/gma/2020/gma3-4-2020-continut.pdf

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Capturas de pantalla del enlace proporcionado: