Como delfonics dice, la respuesta es: sí, si y sólo si no existe un cardinal medible, y un esbozo de la prueba fue dada por hot_queen en una respuesta a una pregunta de la mina de 2014 (Consistencia de la fuerza de 0-1 con valores de medidas de Borel), que de alguna manera me había olvidado por completo. Mientras tanto, yo había escrito el argumento de abajo, que esencialmente se llena en los detalles en hot_queen del argumento.
Una dirección es fácil. Supongamos $\kappa$ es un cardinal medible, por lo que existe una $\kappa$-aditivo (en particular, countably aditivo) $\mu : 2^{\kappa} \to \{0,1\}$ que no es una masa de Dirac. Deje $M$ $\kappa$ equipada con la métrica discreta (o para el caso, cualquier otra métrica que $\kappa$ podría suceder a admitir). A continuación, $\mu$ (o su restricción a los conjuntos de Borel, si estamos usando un no-discretas métrica) es la deseada contraejemplo.
La otra dirección que he encontrado en el documento [1]. El argumento, para el caso actual, va como sigue.
Trabajo en ZFC, supongamos que hay un espacio métrico $M$ y un 0-1 con valores de medida de Borel $\mu$ que no es un punto de masa. Usando el axioma de elección, $M$ está en una correspondencia uno a uno con algún cardenal $\kappa$, así que podemos escribir $M = \{x_\alpha : \alpha \in \kappa\}$. (En otras palabras, debemos tener bien ordenados $M$.) Nota de cada $\alpha \in \kappa$ es en sí mismo un ordinal.
Para cada $\alpha$,$\mu(\{x_\alpha\})=0$, e $\{x\}$ es una disminución de la intersección de la open bolas $B(x_\alpha,1/n)$. Así que por la continuidad de arriba, hay una bola de $B_\alpha$ centrada en$x_\alpha$$\mu(B_\alpha) = 0$. Set $H_\alpha = B_\alpha \cap \left( \bigcup_{\beta \in \alpha} B_\beta\right)^c$. (Algunas de las $H_\alpha$ puede estar vacío, pero que está bien.) Tenga en cuenta que $H_\alpha$ es la intersección de una abierta (por lo tanto,$F_\sigma$) y un conjunto cerrado, por lo $H_\alpha$ es Borel (de hecho $F_\sigma$). Y desde $H_\alpha \subset B_\alpha$ tenemos $\mu(H_\alpha) = 0$. Por construcción, el $H_\alpha$ son disjuntos a pares, y $\bigcup_{\alpha \in \kappa} H_\alpha = M$. Ahora que citar un resultado de D. Montgomery [2] que afirma que cualquier unión de la $H_\alpha$ es de hecho una $F_\sigma$; en concreto se trata de Borel.
Ahora definir una medida $\nu : 2^{\kappa} \to \{0,1\}$$\nu(Y) = \mu\left(\bigcup_{\alpha \in Y} H_\alpha\right)$. Desde $\mu$ es countably aditivo y el $H_\alpha$ son distintos, tenemos que $\nu$ es countably aditivo. Además, para cualquier $\alpha$ tenemos $\nu(\{\alpha\}) = \mu(H_\alpha) = 0$, e $\nu(\kappa) = \mu(M) = 1$. Por lo tanto $\kappa$ admite un trivial countably aditivo 0-1 valores de medida en todos sus subconjuntos.
Un cardinal medible $\lambda$ tiene que tener una medida que no es sólo countably aditivo, pero en realidad $\lambda$-aditivo, así que para terminar, hacemos uso de un argumento por Ulam, mencionado en la página de Wikipedia de arriba. Ya hemos demostrado que hay un cardenal (es decir,$\kappa$) con un trivial countably aditivo 0-1 valores de medida en todos sus subconjuntos, hay un mínimo de cardenal con esta propiedad; llamarlo $\kappa_1$ y deje $\nu_1 : 2^{\kappa_1} \to \{0,1\}$ la correspondiente countably aditivo medida.
Supongamos $\nu_1$ no $\kappa_1$-aditivo; eso significa que hay una colección de $\mathcal{C} \subset 2^{\kappa_1}$, habiendo $\kappa_0 := |\mathcal{C}| < \kappa_1$, de tal manera que $\mathcal{C}$ se compone de pares distintos conjuntos de $\nu_1$-medida cero, y sin embargo,$\nu_1\left(\bigcup \mathcal{F}\right) = 1$. Fijar un bijection $\phi : \kappa_0 \to \mathcal{C}$ y definir una medida $\nu_0 : 2^{\kappa_0} \to \{0,1\}$$\nu_0(B) = \nu_1\left(\bigcup_{\beta \in B} \phi(\beta)\right)$. A continuación, $\nu_0$ es countably aditivo; para $\beta \in \kappa_0$ tenemos $\nu_0(\{\beta\}) = \nu_1(\phi(\beta)) = 0$ ya que cada conjunto en $\mathcal{C}$ habían medida cero; y $\nu_0(\kappa_0) = \nu_1(\bigcup \mathcal{F}) = 1$. Por lo $\nu_0$ es trivial, y esto contradice la minimality de $\kappa_1$.
Así pues, hemos demostrado que $\kappa_1$ es un cardinal medible.
[1] Marczewski, E.; Sikorski, R.
Medidas no separables métrica espacios.
Coloquio De Matemáticas. 1, (1948). 133-139. MR 25548
[2] Montgomery, D. No separables métrica espacios. Fundamenta Mathematicae 25, (1935). 527-533.
Nota: yo no era capaz de encontrar una copia de Montgomery papel en línea, y no parece ser indexado en MathSciNet. Si alguien tiene una copia de este documento, o sabe donde encontrar otra prueba de que el resultado, yo estaría interesado en escuchar. Me encontré con un número de otras referencias que mencionan este resultado, por lo que parece estar bastante bien establecido.
