Integral de Bochner: Punto de Lebesgue

Question

Este hilo es solo una nota.

Dado un espacio euclidiano y un espacio de Banach.

Considere funciones Bochner integrables: $$F\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d,E):\quad\int\|F\|\mathrm{d}\lambda<\infty$$

Luego casi todo punto es un punto de Lebesgue: $$D_r(F;z):=\frac{1}{\lambda(B_r(z))}\int_{B_r(z)}F\mathrm{d}\lambda=F(z)$$ ¿Cómo obtener esto a partir de la versión de Lebesgue?

Answer 1

Esto se toma del documento original de Bochner.

Por medibilidad fuerte hay funciones simples: $$S_n\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d,E):\quad S_n\to F$$

Así que se puede descomponer lo anterior en: $$\|D_r(F;z)-F(z)\|\leq D_r(\|F-S_N\|;z)+\|D_r(S_n;z)-S_N(z)\|+\|F(z)-S_N(z)\|$$

Por linealidad, el segundo término se reduce a: $$D(a\chi_A+b\chi_B;z)=aD(\chi_A;z)+bD(\chi_B;z)$$

Así que el primer y segundo término pueden ser manejados por la versión de Lebesgue.