Medir el espín con el aparato de Stern-Gerlach

Question

Tengo un haz de electrones preparado en el estado $|\Psi\rangle = \cos(\theta/2)|+\rangle_z + \sin(\theta/2)|-\rangle_z$ pasando a través de un aparato Stern-Gerlach que es libre de rotar a lo largo del eje y, y configurado con un ángulo $\alpha$ para medir la proyección del giro a lo largo del eje $\cos(\alpha)u_z + \sin(\alpha)u_x$

Se supone que debo averiguar si puedo determinar $\theta$ en tres situaciones diferentes:

• Enviando todos los electrones a través del aparato SG con $\alpha = 0$
• Enviando la mitad de los electrones con $\alpha = 0$ y la otra mitad con $\alpha = \pi$
• Enviando la mitad de los electrones con $\alpha = 0$ y la otra mitad con $\alpha = \pi/2$

Entonces, ¿cómo puedo hacer eso?

EDIT:

Usando la matriz para la proyección del giro en una dirección arbitraria $$S_u = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\alpha) & \sin(\alpha)e^{-i\phi} \\ \sin(\alpha)e^{i\phi} & -\cos(\alpha) \\ \end{array}\right)$$

(en la base $\left\{|+\rangle_z, |-\rangle_z\right\}$, con $\phi = 0$)

Encuentro que

$$S_u |\psi\rangle = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\alpha - \theta/2) \\ \sin(\alpha - \theta/2) \\ \end{array}\right) = \cos(\alpha -\theta/2)|+\rangle_z + \sin(\alpha -\theta/2)|-\rangle_z$$

Entonces $P_r(\hbar/2) = \cos^2(\alpha - \theta/2)$ y $P_r(-\hbar/2) = \sin^2(\alpha - \theta/2)$

$\theta = 2\left( \alpha - \arccos(\sqrt{P_r(\hbar/2)})\right) = 2\left( \alpha - \arcsin(\sqrt{P_r(-\hbar/2)})\right)$

Pero no creo que sea correcto porque, de ser así, podría determinar $\theta$ independientemente del valor de $\alpha$...

Answer 1

Su matriz de proyección de giro $S_u$ en realidad parece ser una rotación, no una proyección: una proyección tiene solo valores propios degenerados de $+1$, pero tu $S_u$ tiene valores propios $\pm 1$. Además, no estoy seguro de que el problema requiera una solución general para $\alpha$ arbitrario.

En cualquier caso, es más fácil, aunque menos elegante, ir caso por caso:

• Para $\alpha = 0$ el aparato mide a lo largo de $u_z$ y da como resultado: $$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{|\langle -|\Psi\rangle|^2}{|\langle +|\Psi\rangle|^2}$$ Esto deja dos soluciones para $\tan \frac{\theta}{2}$ (o múltiples pares $\cos \frac{\theta}{2}$, $\sin \frac{\theta}{2}$) y no proporciona información para seleccionar entre ellos.

• Si la mitad de los electrones se envían a través de $\alpha =0$ y la mitad a través de $\alpha = \pi$, las proyecciones son a lo largo de $u_z$ y $-u_z$, y no se obtiene información adicional.

• Enviando la mitad de los electrones a través de $\alpha = 0$ y la mitad a través de $\alpha = \frac{\pi}{2}$ se recupera la información anterior de la proyección a lo largo de $u_z$ y se agrega una proyección a lo largo de $u_x$. Para esta última, las probabilidades son $$P(\pm u_x) = \Big|\frac{1}{\sqrt{2}}\langle +|\Psi\rangle \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\langle -|\Psi\rangle\Big|^2 = \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\theta}{2}\pm \sin \frac{\theta}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \pm \sin \theta$$ y resuelven el valor correcto de $\theta$ de entre los compatibles con los resultados de $u_z$.