Dado $x+y+z=3$, ¿cómo puedo maximizar $xy+yz+zx-xyz$?

Question

Dados números no negativos $x,y,z$ tales que $x+y+z=3$. ¿Cómo puedo maximizar $xy+yz+zx-xyz$? Descubrí que el máximo es 2 y se cumple cuando uno de los números es 1 y los otros dos suman 2 pero no tengo idea de cómo demostrarlo. ¿Alguien puede ayudar, por favor?

Answer 1

Dado que la expresión es simétrica, podemos asumir $z \leq 1$.
Nota que $xy+yz+zx-xyz=xy(1-z) + z(x+y) = xy(1-z)+z(3-z)$. Esto significa que para un $z \leq 1$ fijo, el máximo se alcanza cuando $xy$ se maximiza (ya que $1-z\geq0$), y dado que $x+y=3-z$ está fijo, esto ocurre cuando $x=y=\frac{3-z}{2}$. Por lo tanto, la expresión ahora se convierte en un polinomio en $z$:
$$P(z)=(\frac{3-z}{2})^2(1-z)+z(3-z)=(3-z)(\frac{(3-z)(1-z)}{4}+z)=(3-z)(\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4})=\frac{-z^3+3z^2-3z+9}{4}$$
Y queremos encontrar su máximo donde $z \in [0,1]$. Sin embargo, es fácil ver que $P$ es positivo y decreciente en $[0,1]$, por lo tanto, el máximo se alcanza cuando $z=0$ y $P(0)=\frac{9}{4}$ es el máximo.

De la demostración se sigue que el máximo se alcanza cuando dos de $x,y,z$ son iguales a $\frac{3}{2}$ y el otro es $0$.

Answer 2

Supongamos $x = \max \{x,y,z\},$ entonces $x \geqslant 1,$ por lo tanto $$xy+yz+zx-xyz \leqslant xy+yz+zx-xyz + yz(x-1) = x(y+z).$$ Por la desigualdad AM-GM, tenemos $$x(y+z) \leqslant \left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2 = \frac94.$$ La igualdad se cumple para $x=y=\frac{3}{2},\,z=0.$

Answer 3

Podemos querer equivalente maximizar: $$ \begin{aligned} (1-x)(1-y)(1-z) &=1-\underbrace{(x+y+z)}_{=3}+(xy+yz+zx)-xyz\\ &=-2 + (xy+yz+zx)-xyz\\[3mm] &\qquad\text{ así que sustituyamos }\\ X&=1-x\ ,\\ Y&=1-y\ , \\ Z&=1-z\ .\qquad\text{ Estas variables satisfacen:}\\ X+Y+Z &= 3-(x+y+z)=0\ ,\text{ y}\\ (*)\qquad 1&\ge X,Y,Z\ . \end{aligned} $$ El máximo de $XYZ$ es por supuesto positivo, obtenido cuando arreglamos para que dos de las variables sean negativas y una positiva. Vamos a asumir (s.p.g) para esto $X,Y\le 0$, entonces $Z\ge 0$.

La variable positiva $Z$ es entonces la única que sufre la restricción $(*)$, y solo tenemos la condición $Z\le 1$. Si $Z< 1$, podemos cambiar multiplicativamente $X,Y,Z$ multiplicándolos por $1/Z$, la suma sigue siendo cero, el producto aumenta por el factor $(1/Z)^3>1$. Así que podemos y asumimos que $Z=1$ mientras maximizamos. Esto implica $X+Y=-1$, y por supuesto el producto $XY$ es maximal para $X=Y=-\frac12$.

Regresamos al mundo de $(x,y,z)$ y obtenemos un valor máximo para $x=y=1-\left(-\frac 12 \right)=\frac 32$ y $z=1-1=0$. Dado que $z=0$, el único término sobreviviente es $xy$, por lo tanto, el valor máximo es $\left(\frac 32\right)^2=\frac 94>2$.