Es bien sabido que en coordenadas geodésicas tenemos $$ g_{ij}=\delta_{ij}-\frac{1}{3}\sum_{k,l}R_{ijkl}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3}) $$ He estado tratando de encontrar una prueba rigurosa de esto, pero no puedo encontrar una prueba legible en línea (ver esta, por ejemplo) o derivarla yo mismo. A partir de la compatibilidad con la métrica tenemos $$ \partial_{i}g_{jk}=\sum_{\alpha}(\Gamma^{\alpha}_{ij}g_{ak}+\Gamma^{\alpha}_{ik}g_{aj}) $$ Dado que sabemos que $\nabla_{X}X=0$ para cualquier vector desde el origen, tenemos $\nabla_{i}\partial_{j}=0,\forall i,j$. Esto implica que todas las $\Gamma^{k}_{ij}=0$. Por lo tanto, la derivada de primer orden se anula. Sin embargo, no está claro para mí cómo calcular la segunda derivada. Tenemos: $$ \partial_{l}\partial_{i}g_{jk}=\sum_{\alpha}(\partial_{l}\Gamma^{\alpha}_{ij}g_{\alpha k}+\partial_{l}\Gamma^{\alpha}_{ik}g_{\alpha j}) $$ Esto se puede simplificar aún más al notar que en el origen tenemos $g_{ij}=\delta_{ij}$. Por lo tanto, la suma anterior es de hecho $$ \partial_{l}\partial_{i}g_{jk}=\partial_{l}\Gamma^{k}_{ij}+\partial_{l}\Gamma^{j}_{ik} $$ Y habríamos demostrado la afirmación si podemos mostrar que $$ \frac{1}{2}(\partial_{l}\Gamma^{k}_{ij}+\partial_{l}\Gamma^{j}_{ik})=-\frac{1}{3}(R_{ijkl}+R_{ljki}) $$ Por definición tenemos $$ R_{abcd}=g_{ae}R^{e}_{bcd}=\sum_{e}g_{ae}R^{e}_{bcd}=R^{a}_{bcd}=\partial_{c}\Gamma^{a}_{db}-\partial_{d}\Gamma^{a}_{bc} $$ Por lo tanto tenemos $$ R_{ijkl}+R_{ljki}=\partial_{k}\Gamma^{i}_{jl}-\partial_{l}\Gamma^{i}_{jk}+\partial_{k}\Gamma^{l}_{ij}-\partial_{i}\Gamma^{l}_{jk} $$ Pero no sé por qué tendríamos $$ \frac{1}{2}(\partial_{l}\Gamma^{k}_{ij}+\partial_{l}\Gamma^{j}_{ik})=-\frac{1}{3}(\partial_{k}\Gamma^{i}_{jl}-\partial_{l}\Gamma^{i}_{jk}+\partial_{k}\Gamma^{l}_{ij}-\partial_{i}\Gamma^{l}_{jk}) $$ No sé si me he perdido algo obvio como usar la identidad de Bianchi.
Respuesta
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ray247
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Pedí esto hace muchos años como estudiante de posgrado principiante. Un método general para resolverlo es usando campos de Jacobi, y se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de Schoen-Yau. Si recuerdo correctamente, está listado como un problema de ejercicio en el libro de Morgan-Tian. El primero en demostrarlo aparentemente fue Riemann mismo.
No sé si mi método original tiene alguna esperanza (han pasado cuatro años, así que tal vez no). Espero que esto ayude a otras personas.
