Es allí una manera de aprender la Categoría de Teoría, sin el aprendizaje de muchos conceptos de los que nunca han visto ejemplos?
Respuestas
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Goethe
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18
Sí, acaba de enterarse de la categoría de teoría. Presumiblemente, lo que quiere decir, es que cuando la lectura de Mac Lane o Herrlich/Strecker parece como si usted necesita entender lo $\mathbf{Grp,Rng,Ring,Top,Toph},R\text{-}\mathbf{Mod},\mathbf{Set},\mathbf{Ban},\mathbf{BooAlg}$,... los medios. Bueno, no realmente, pero es en serio ayuda. En otros campos en los que uno necesita ejemplos concretos para las pruebas de la intuición, en la categoría de teoría, una de las necesidades de otros campos. Así que, asegúrese de que usted puede aprender de la categoría de teoría, pero sin duda será más bien seco y sin sentido si no conoces algunos de los ejemplos básicos de (hormigón) categorías. Si usted está tratando de obtener el derecho a la categoría de teoría, aunque, definitivamente, hay "más importante" de los ejemplos de los demás. Usted debe saber $R\text{-}\mathbf{Mod}$ debido a que la categoría de la teoría es tan frecuente allí, es probablemente la fuente más rica de aplicaciones. Lo mismo podría decirse de $\mathbf{Top}$, especialmente por el muy conocido de functors fuera de él. Usted debe saber $\mathbf{Field}$ porque es una buena fuente de contraejemplos (terminal no objeto, para empezar, pero también carece de un buen montón de construcciones). Definitivamente, usted necesita saber $\mathbf{Set}$, pero yo apenas duda de que es un problema (mantenga $\mathbf{Set}_\ast$ señaló establece en su bolsillo trasero, otro buen contraejemplo, y fáciles de entender).
Hubo un tiempo,no hace mucho tiempo,cuando usted realmente no podría-al menos no de una gran profundidad.Esto fue debido a que la mayoría de las fuentes importantes eran bastante avanzados a nivel de posgrado monografías que se presume que al menos un primer año de estudios de posgrado en el conocimiento de la topología y álgebra. MacLane del tratado, por supuesto,es de esta naturaleza. Así es Herrlich/Strecker (que de hecho, me gusta más en algunos aspectos).
El principal contraejemplos a esta regla fueron la avanzada de licenciatura y de posgrado a nivel de libros de texto en el álgebra y la topología que enseñó categoría básica de la teoría simultáneamente con el material del que estaban tratando de enseñar. Buenos ejemplos de esto fueron MacLane/Birkoff del Álgebra y Ronald Brown excelente Topología Y Groupoids. Pero estas fuentes realmente no cubren la categoría de teoría en profundidad-que acaba de cubrir lo que se necesita para entender un categórico/homológica diagrama de enfoque de sus sujetos.
Me parece que lo que está preguntando es si o no, uno debe probar y aprender categoría abstracta de la teoría, independientemente de su motivación ejemplos. Esta pregunta es buena y ha sido un tema de gran debate aquí y en el compañero de la junta, Matemáticas Desbordamiento. De hecho, hice la pregunta allí el año pasado y consiguió un excelente feedback de un número de personas.Usted puede leer mis comentarios, no-mi opinión no ha cambiado en él:
http://mathoverflow.net/questions/41057/categories-first-or-categories-last-in-basic-algebra
Para citar a mí mismo de que la junta: Nunca he sido realmente cómodo con la categoría de teoría. Siempre me pareció que dar los elementos y tratar con objetos que son cognoscibles sólo hasta el isomorfismo fue un enorme salto de fe que la matemática moderna debe estar más allá. Pero he tratado de ser una buena mathematican y aprender por mi propio bien. El hecho estoy profundamente interesado en el álgebra hace más de una prioridad..........
Algunos de mis compañeros estudiantes de posgrado pensar que la teoría de conjuntos, deben ser abandonados por completo y arrojado en el mismo contenedor con Newtoniano infinitesimals (no estándar construcciones no soportar) y creo que todos los estudiantes deben aprender categoría teoría de aprendizaje antes de cualquier otra cosa. Personalmente, creo que la categoría de la teoría sería totalmente un misterio para los estudiantes sin un considerable stock de ejemplos para dibujar. Categorías y propiedades universales son vastas generalizaciones de los números grandes, no sólo de ejemplos concretos,pero ciertos theorums así. Como tal, creo que es mucho mejor de lo aprendido después de ganar una considerable fascility con las matemáticas-después de, al menos, cursos de pregrado en la topología y álgebra.
Para esto, voy a añadir un montón de personas que me dicen que mi actitud es anticuado y que la mayoría de la matemática puede y debe ser reformulado en términos de categórico se construye desde el principio. Mi respuesta es, básicamente, lo anterior con el siguiente agregado advertencia: puede también conducir con los pies, no es una buena idea..........
Este post se ha hecho muy larga,pero en el cierre, he de decir que ahora hay una fuente excelente para la introducción de la categoría de la teoría a los estudiantes de pregrado, mientras que no diluir el tema y, simultáneamente, ofrece muchos buenos ejemplos: la Categoría de la Teoría de Steven Awodey. Este es el único libro que se puede utilizar para enseñar el tema a los estudiantes de pregrado. Es muy caro, pero ahora en edición de bolsillo, que es un poco menos caro. Definitivamente vale la pena el precio de la cubierta si usted es serio acerca de la categoría de teoría.
Joe Carroll
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427
Debo disentir con la mayoría de las respuestas aquí. Lawvere/Schanuel introduce CT a través de (di)de los gráficos en lugar de "algebraica" de los objetos. Esto significa que, básicamente, en la de Platón-esclavo nivel de ingenuo, la comprensión visceral, como la teoría de conjuntos o de alta escuela de la geometría. También significa que sería una buena lectura para experimentó incluso los matemáticos a la realidad de la bomba de sus intuiciones sobre el tema. Y, si bien es cierto, han sido utilizados en real alto-los niños de la escuela (la curiosidad de los tipos que se dan a menudo la teoría de conjuntos en la más elegante de las escuelas), que le llevará hasta adjunctions!
Después de eso, Lawvere ha escrito más avanzado libro con Rosebrugh que se basa en la categoría de conjuntos, otro que vale la pena la intuición de la bomba, incluso para los más avanzados. Pero aparte de eso, es cierto que después de Lawvere/Schanuel en realidad no hay literatura más allá de que si usted no sabe álgebra. Afortunadamente, usted puede tomar el cuidado de eso rápidamente. No te asustes por el duro libros como Lang o seco, matriz pesados como Artin; recoger una Dover copia de Pinter (es fácil y divertido!), aprender un poco de álgebra lineal (sí, que bastante tienen a), estar dispuesto a seguir aprendiendo un poco más de álgebra de fácil fuentes (por ejemplo, internet de las cosas), incluso a medida que avance con que la CT está tan impaciente por llegar, y sobre todo, mantener en mente la idea general de una estructura, más allá de un conjunto, y lo que sería para un morfismos para preservarla. Pero sí, estás listo para tu primera grieta en Mac Lane! Él es realmente un muy suave escritor, y la cosa buena acerca de este tema, usted puede fácilmente con sólo utilizar los ejemplos que usted no entiende, por ahora, aunque, por supuesto, la intuición viene más fácil cuanto más se pueda relacionar.
En suma: Hay una manera: Lawvere/Schanuel, uno de los mejores libros que nadie leerá siempre. Y creo que sería una tragedia si a alguien que está tan emocionado e inspirado por el TC abstracto de la belleza se desanime por todos estos adusto advertencias en un todo-demasiado-familiar "pagar tus cuotas niño; esto es un viaje largo y duro" del espíritu. Especialmente desde que el álgebra es así que a menudo hace parecer tan aburrido. (Realmente, no lo es! Y vamos a CT ser su motivación al descubrir que en particular agradable sorpresa.)
