¿Alguien puede darme una pista para este problema (para estudiantes de secundaria):
Demuestra que: $$\left(2017^{2018}+2017^{2017}\right)^{2018}>\left(2018^{2017}+2017^{2017}\right)^{2017}$$
P/s: He estado pensando en usar el hecho de que $n^{n+1}>(n+1)^n$ para $n$ es un número natural, pero para demostrar esto tendría que usar la derivada.
Pista: $$ \frac{2017^{2018}}{2017^{2017}}=2017 $$ pero $$ \begin{align} \frac{2018^{2017}}{2017^{2017}} &=\left(1+\frac1{2017}\right)^{2017}\\ &\le\left(1+\frac1{2017}\right)^{2018}\\ &\le\left(1+\frac1{2016}\right)^{2017}\\ &\qquad\ \ \vdots\\ &\le\left(1+\frac11\right)^2\\[6pt] &=4 \end{align} $$ Para mostrar la última serie de desigualdades, podemos usar la Desigualdad de Bernoulli, que tiene una demostración inductiva muy sencilla: $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}} &=\frac{n-1}n\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^{n+1}\\ &\ge\frac{n-1}n\left(1+\frac1{n-1}\right)\\[9pt] &=1 \end{align} $$
Como indica el OP, la desigualdad deseada sigue fácilmente de la desigualdad general $(n+1)^n\lt n^{n+1}$, que es válida para $n\ge3$ (pero no para $n=1$ o $2$). Aquí está el paso esencial en una demostración de inducción fácil.
Reescribiendo la desigualdad a probar como $\left( n+1\over n\right)^n\lt n$, supongamos por inducción que tenemos
$$\left( n\over n-1\right)^{n-1}\lt n-1$$
Entonces, a partir de ${n+1\over n}\lt {n\over n-1}$ (ya que $(n+1)(n-1)=n^2-1\lt n^2$), tenemos
$$\left( n+1\over n\right)^n\lt\left( n\over n-1\right)^n=\left( n\over n-1\right)\left( n\over n-1\right)^{n-1}\lt\left( n\over n-1\right)(n-1)=n$$
$n^{n+1}>(n+1)^n$ para $n>3$
Sea $n=2017$, entonces tu desigualdad se convierte en
$$(n^{n+1}+n^n)^{n+1}>((n+1)^n+n^n)^n$$
Prueba: $(n^{n+1}+n^n)^{n+1}>((n+1)^n+n^n)^{n+1}$ ya que $a>b$ implica $a^c>b^c$ para $a$ y $b$ positivos y $c$ entero y $((n+1)^n+n^n)^{n+1}>((n+1)^n+n^n)^n$ ya que $(n+1)^n+n^n>1$
Los números que utilizan en problemas de contexto suelen ser irrelevantes
Enfóquese en $$\left(n^{n+1}+n^n\right)^{n+1}>\left(n^n+(n+1)^n\right)^n$$
Un punto clave es probar que
$n^{n+1}>(n+1)^n;\;\forall n\ge 3\quad$
Si divide ambos lados por $n^n$ obtiene $$n>\left(\frac{1}{n}+1\right)^n$$ lo cual es verdadero para $n\ge 3$ porque todos los términos $(n+1)$ de la potencia binomial en el RHS son (mucho) menores o iguales a $1$ y su suma es menor que $n$. Por ejemplo para $n=4$ es $\frac{1}{4^4}+\frac{4}{4^3}+\frac{6}{4^2}+\frac{4}{4}+1$ lo cual es mucho más pequeño que $4$. Es decir, es aproximadamente $2.44$.
No es una prueba rigurosa, pero espero que sea comprensible para un estudiante de noveno grado
Espero que esto pueda ayudar
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
