Hasta ahora he visto dos enfoques para una teoría de integración estocástica, ambos basados en argumentos de $L^2$ y aproximaciones. Uno se ocupaba de un movimiento Browniano estándar como el único integrador posible y admitía que los integrandos fueran procesos progresivamente medibles que satisfacían ciertas condiciones de integrabilidad. La otra teoría que vi generalizaba las ideas del primero a semimartingalas continuas como integradores, pero "sólo" admitía integrandos predecibles (escribo "sólo" ya que la previsibilidad implica medibilidad progresiva). Al hojear la literatura tengo la impresión de que el uso de integrandos predecibles es bastante común. ¿Existe alguna razón más profunda por la cual uno se "restringe" a esta clase de procesos?
Respuesta
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Ser predecible (como ser medible con respecto a la $\sigma$-álgebra predecible) siempre implica ser progresivo (como ser medible con respecto a la $\sigma$-álgebra progresiva), pero la otra implicación solo se cumple en casos especiales, como cuando por ejemplo la filtración subyacente es la completación usual de la filtración generada por un movimiento browniano.
Existen buenas razones para restringirse a integrandos predecibles. En general, los procesos de integración estocástica con integrandos progresivos y integradores local martingale no serán local martingales (generalmente, tales integrales serán difíciles de definir en absoluto excepto para integrandos progresivos simples). Como ejemplo de esto, sea $N$ un proceso de Poisson estándar y sea $M_t = N_t - t$. Entonces $M$ es un local martingale (de hecho, un verdadero martingale).
Entonces tenemos $$ \int_0^t N_s d M_s =\int_0^t N_{s-} dM_s +\int_0^t \Delta N_s d M_s \\ =\int_0^t N_{s-} dM_s + \sum_{0
Una de las principales propiedades que hacen posible obtener la propiedad de local martingale para integrales estocásticas de procesos predecibles con respecto a local martingales es el siguiente resultado: Si $X$ es cadlag y predecible, entonces los saltos de $X$ pueden ser cubiertos con una secuencia contable de tiempos de parada predecibles. Y los tiempos de parada predecibles se comportan bien con los martingales.
Para más información sobre todo esto, consulte por ejemplo los libros "Difusiones, Procesos de Markov y Martingales" de Rogers & Williams, o "Teoría de Semimartingale y Cálculo Estocástico" de He, Wang y Yan.
