¿El proceso de renovación siempre tiene incrementos independientes?

Question

Todos sabemos que el proceso de Poisson tiene incrementos independientes. También es un proceso de renovación para la secuencia de variables aleatorias exponenciales. Sin embargo, la pregunta es:

¿Sea $( X_t, t \ge 0) $ un proceso de renovación para la secuencia $\{ \xi_n\: | n \in \mathbb{N}\}$ de variables aleatorias iid. ¿Tiene $X_t$ incrementos independientes?

Answer 1

$X_t$ no necesita tener incrementos independientes. Sea $\xi_1$ una variable aleatoria tal que $\mathbb{P}(\xi_1 = 1) = \mathbb{P}(\xi_1 = \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ y sea $X_t$ el proceso de renovación correspondiente. Eso es $$X_t = \sum_{n=1}^\infty 1_{\{\sum_{j=1}^n \xi_j \leq t \}}$$ Luego, $X_{1/2} - X_0$ y $X_{5/4} - X_{3/4}$ claramente no son independientes ya que $X_{1/2} - X_0 = 0$ implica $X_{5/4}-X_{3/4} \geq 1$, entonces $$\mathbb{P}(\{X_{5/4} - X_{3/4} = 0 \} \cap \{X_{1/2} - X_0 = 0 \}) = 0 \neq \mathbb{P}(X_{5/4} - X_{3/4} = 0)\mathbb{P}(X_{1/2} - X_{0} = 0)$$