Es allí una manera significativa para definir la derivada covariante de la conexión de los coeficientes, $\Gamma^a_{bc}$? Como en, ¿tiene sentido definir el objeto de $\nabla_d\Gamma^a_{bc}$? Desde la conexión de los coeficientes de símbolo no transforma como un tensor, parece que debe haber algún tipo de obstrucción a la definición de este en la forma habitual, el tratamiento de la $a$ como contravariante índice y $b$ $c$ un covariante índices.
Parte de mi motivación para pensar acerca de esto fue para escribir el tensor de Riemann en términos de este símbolo $\nabla_d\Gamma^a_{bc}$. Si usted trabaja en un local de Lorentz marco en un punto en el $\Gamma^a_{bc}$ todos se desvanecen, la expresión para el tensor de Riemann es sólo $$R^a_{\phantom{a}bcd}=\partial_c\Gamma^a_{bd}-\partial_b\Gamma^a_{cd}.$$ Así que me gustaría "covariantize" esta expresión para un general de sistema de coordenadas por escrito \begin{equation} R^a_{\phantom{a}bcd}=\nabla_c\Gamma^a_{bd}-\nabla_b\Gamma^a_{cd}. \tag{*} \end{equation} Si yo pretendo que $\Gamma^a_{bd}$ debe tener una derivada covariante definido por el tratamiento de los índices normales tensor de índices, tengo para esta expresión algo bastante cerca de la respuesta correcta $$R^a_{\phantom{a}bcd}=\partial_c\Gamma^a_{bd}-\partial_b\Gamma^a_{cd} +2(\Gamma^a_{ce}\Gamma^e_{bd}-\Gamma^a_{eb}\Gamma^e_{cd})$$ y curiosamente, si defino $$\nabla_c\Gamma^a_{bd} \equiv \partial_c\Gamma^a_{bd} + \Gamma^a_{ce}\Gamma^e_{bd}-\Gamma^e_{cd}\Gamma^a_{eb} + \Gamma^e_{cb}\Gamma^a_{ed} $$ donde el último término aparece con la señal equivocada de lo que se obtiene con una simple $(1,2)$ tensor, la expresión $(*)$ anteriormente para el tensor de Riemann es correcta. Es sólo una coincidencia, o hay alguna razón para definir una derivada covariante de la conexión símbolo como que?
Actualización: La expresión que da la forma del tensor de Riemann para $(*)$ es en realidad $$\nabla_c\Gamma^a_{bd} \equiv \partial_c\Gamma^a_{bd} + \Gamma^a_{ce}\Gamma^e_{bd}-\Gamma^e_{cd}\Gamma^a_{eb}$$ así es como si nosotros no somos el tratamiento de la $b$ como un tensor de índice, y estamos empezando a escribir la derivada covariante de un $(1,1)$ tensor.
