Encuentra todos los números naturales de la forma $\overline{abcd}$ que satisfacen la relación $$\overline{abcd}=s(2s+d)^2$$ para la cual $s=a+b+c+d$ es un número primo.
Mi idea.
No creo que esto vaya a ayudar mucho, pero $1 \leq s \leq 36$. Porque $s$ es primo, $s=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$
Pensé en analizar cada caso, pero creo que llevará demasiado tiempo.
Sé que $2023$ es uno de los números.
También intenté sustituir $s$ con $a+b+c+d$ pero la igualdad se hace mucho más difícil.
Supongo que el problema solo considera números de $4$ dígitos, es decir, $a \ge 1$. Si es así, entonces, para $s \le 5$, tenemos que $s(2s + d)^2 \le 5\times (2\times 5 + 4)^2 = 980$, por lo que ninguno de ellos es posible. Por lo tanto, solo necesitamos verificar $s \ge 7$.
La relación módulo $5$ indica que $d \neq 0, 5$. Luego, usando el módulo $9$, dado que $\gcd(s, 9) = 1$, entonces
$$\overline{abcd}\equiv a + b + c + d \pmod{9} \;\to\; (2s + d)^2\equiv 1\pmod{9} \;\to\; 2s + d \equiv \pm 1 \pmod{9}$$
Para $s = 7$, entonces $2s \equiv 5\pmod{9}$, por lo que $d$ debe ser $3$ o $5$. Con $d = 3$, obtenemos $s(2s + d)^2 = 2023$, por lo que funciona, como ya has notado. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, $d = 5$ no está permitido.
Con $s = 11$, entonces $2s \equiv 4\pmod{9}$, lo que significa que $d$ debe ser $4$ o $6$, lo que resulta en $s(2s + d)^2$ siendo $7436$ o $8624$, ninguno de los cuales es válido.
Se puede revisar el resto de los números primos menores que $36$ para confirmar que ninguno de ellos funciona. Una manera de reducir un poco los cálculos es multiplicar el último dígito de $s$ con el cuadrado del último dígito de $2s + d$. En la mayoría de los casos, el último dígito de esto no sería $d$.
Puede haber atajos adicionales, como usar otras congruencias, para reducir moderadamente el trabajo, aunque determinarlos y explicarlos en una respuesta puede en realidad requerir más tiempo y esfuerzo del que ahorran. De todas formas, lo que he mostrado aquí hace que la verificación manual sea relativamente factible ya que solo hay como máximo $2$ valores de $d$ que necesitan ser investigados para cada uno de los números primos restantes $13 \le s \le 31$.
Actualización: Como se indicó en el comentario de Travis Willse, y se utilizó en su respuesta, dado que $s \ge 17$ implica que $s(2s + d)^2 \ge 4\times 17^3 \gt 10^4$, en realidad solo necesitamos verificar $s \le 13$. Dado que ya he verificado aquí que $s \le 11$, la única verificación adicional requerida es para $s = 13$.
Pista Supondremos que $a \neq 0$, de modo que $\overline{abcd}$ es un número de $4$ dígitos, por lo tanto $$10^3 \leq s (2 s + d)^2 < 10^4 .$$
Si $s \leq 5$, entonces $d < s \leq 5$, por lo tanto $$\overline{abcd} = s (2 s + d)^2 \leq 5 [2(5) + 4]^2 = 980,$$ una contradicción.
Por otro lado, $$4 s^3 \leq s (2 s + d)^2 < 10^4,$$ así que $$s < 5 \cdot 20^{1/3} < 5 \cdot 27^{1/3} = 15 ,$$ y como $s$ es primo, debemos tener $s \in \{7, 11, 13\}$.
Observa que en cualquier caso, reduciendo módulo $9$ obtenemos $$2 s + d \equiv \pm 1 \pmod 9,$$ por lo que hay como máximo $3$ valores de $d$ para verificar en cada $s$, quedando como máximo $9$ posibilidades de $(s, d)$—de hecho, hay solo $7$.
Si $s = 7$, la condición módulo $9$ da $d \in \{3, 5\}$, y $d = 3$ da la solución $s (2 s + d)^2 = 7 \cdot 17^2 = \boxed{2023}$. Verificando directamente las $6$ otras posibilidades para $(s, d)$ no da soluciones.
Observación Suspendiendo la restricción $a \neq 0$ da una solución más, $0500$ ($s = 5$).
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