Dos posibles sentidos de una variable aleatoria siendo una función de otra variable aleatoria

Question

Dadas dos variables aleatorias X e Y (se asume medibles como es habitual), consideremos dos condiciones:

1. Existe una función (no necesariamente medible) $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que se cumple $Y = f(X)$.

2. Existe una función Borel-medible $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $Y = f(X)$ casi seguramente.

¿Implica la primera condición la segunda?

En otras palabras, si X determina Y en el sentido de la teoría de conjuntos, ¿X también determina Y en el sentido de la teoría de la probabilidad?

Answer 1

Si entiendo tu pregunta, entonces creo que la respuesta que estás buscando es SÍ!

Proposición: Sea $(\Omega, \mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y supongamos que $X: \Omega \to \Bbb{R}$ es medible respecto a $\mathcal{F}/\mathcal{B}$. Supongamos además que $Y : \Omega \to \Bbb{R}$ es medible respecto a $\sigma(X)/\mathcal{B}_{\Bbb{R}}$. Entonces existe alguna función medible $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ tal que $Y = f(X)$ ($P$-c.s.).

Prueba: Primero asumamos que $Y$ es simple. Entonces tenemos que $Y = \sum_{k=1}^n \lambda_k \, 1_{X^{-1}(E_i)}$ para ciertos escalares $\lambda_k$ y conjuntos $E_i \in \mathcal{B}_{\Bbb{R}}$. Entonces $Y = f(X)$ donde $f(x) = \sum_{k=1}^n \lambda_k\, 1_{E_i}(x)$. Ahora, para un $Y$ general, sea $Y_n$ una función simple medible respecto a $\sigma(X)/\mathcal{B}$ que converge a $Y$ ($P$-c.s.). Entonces para cada $n$ existe alguna función medible $f_n : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ tal que $Y_n = f_n(X). Define $f = \limsup_{n \to \infty} f_n$. Entonces $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ es medible y $Y = f(X)$ ($P$-c.s.).