Creo que es un poco engañoso comparar las medidas de Haar aditivas y multiplicativas en campos locales, aunque es posible. Menos tangible, pero más indicativo de la naturaleza de la situación, es el hecho de que el grupo multiplicativo de un campo local no arquimediano tiene un subgrupo compacto (y abierto) maximal único, las unidades locales, lo que sugiere correctamente la normalización de la medida de Haar para dar la medida de unidades locales 1. En contraste, el grupo aditivo de un campo local no arquimediano es una unión ascendente de subgrupos compactos abiertos.
La historia de la medida en el compacto A/k es quizás la historia de que los lugares no arquimedianos absolutamente ramificados tienen su medida aditiva normalizada de cierta manera según el "diferente" local, y debido a que el "diferente" global es el producto del local, y el discriminante al cuadrado es la norma-ideal del diferente, sorprendentemente la medida heredada en el cociente A/k es 1.
En lugar de elegir dominios fundamentales, la medida en un cociente $G/H$ de grupos toplógicos abelianos está completamente determinada por la medida en $G$ y en $H$, por $\int_G f = \int_{G/H} \int_H f(gh)\,dh\;dg$ para $f$ continuo de soporte compacto.
La medida en los ideles está determinada por las medidas locales en todas partes, que en lugares finitos dan medida de unidades locales 1. Luego, $J/k^\times$ tiene una medida determinada de forma única por la medida de conteo en $k^\times$ y la medida en $J$. Luego, $(J/k^\times)/(J^1/k^\times)\approx(0,+\infty)$ recibe la medida usual $dx/x$ a través de ese isomorfismo natural. Por la relación de medidas, como se señaló anteriormente, esto especifica de manera única la medida en $J^1/k^\times$.
Es un ejercicio adicional mostrar que con esta medida definida de manera canónica, la medida total de $J^1/k^\times$ es la habitual $2^{r_1}(2\pi)^{r_2}hR/D^{1/2}w$.
