Densidad marginal de X

Question

Necesito encontrar la densidad marginal de $x$ donde

$$f(x, y) = xe^{-x-y}$$ Donde las entradas deben cumplir: $x, y > 0$

Mi enfoque para resolver el problema fue:

$\int_0^\infty \int_0^\infty xe^{-x-y}dxdy$

$= \int_0^\infty \left[ (x+1)(-e^{-x-y})\right]_0^\infty dy$

$= \int_0^\infty 0 dy$

$= 0$

Pero eso no tiene sentido en absoluto. La función de densidad no debe y no puede ser $0$.

Answer 1

Aquí está tu error: $$\begin{align} \int_{0}^{\infty}{x e^{-x-y}dx} & = (x+1)(-e^{-x-y}) \bigg|_{0}^{\infty} \\ & = \frac{x+1}{e^{x+y}} \bigg|_{\infty}^{0} \\ & = e^{-y} \end{align}$$

Y luego

$$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}{xe^{-x-y} dx dy} = 1$$

Answer 2

Cuando llegas a $$\int_0^\infty (L +1)(\frac{-1}{e^L+e^y})dy=\int_0^\infty e^{-y}dy=\lim_{L\to \infty} -1[e^{-L} - e^0] = -1\cdot-1= 1$$

Answer 3

Esto es bastante fácil. Cada vez que tienes una función de densidad conjunta (x, y), si necesitas obtener la densidad marginal de x, simplemente intégrala con respecto a y en su intervalo actual.

Por lo tanto, la densidad marginal de x es f(x) = Exp[-x]*x.

( Integrate[f[x, y], {y, 0, Infinity}] ;; Integrate[%, {x, 0, Infinity}] )