Modelo interno con un bien ordenamiento $\mathit{\Delta}^1_3$-bueno de los reales

Question

El universo constructible $L$ tiene algunas propiedades interesantes:

1. $L$ tiene un buen bien ordenamiento $\mathit{\Delta}^1_2$ de $\mathbb{R}$. (Gödel, Addison)
2. Para cualquier fórmula $\mathit{\Sigma}^1_2$ $\varphi(x)$ y un real $r \in \mathbb{R}\cap L, \ \varphi(r) \iff \varphi(r)^L$. (Shoenfield)
3. Para cualquier conjunto $\mathit{\Sigma}^1_2$ $A$, o bien $A\subseteq L$ o $A$ contiene un conjunto perfecto. (Mansfield, Solovay)

Mis preguntas son:

• ¿Existe, en $\mathsf{ZFC}$, un modelo interno que cumpla las tres afirmaciones anteriores con $\mathit{\Delta}^1_2$ y $\mathit{\Sigma}^1_2$ reemplazados por $\mathit{\Delta}^1_3$ y $\mathit{\Sigma}^1_3$, respectivamente?
• ¿Qué sucede con $\mathit{\Delta}^1_n$ y $\mathit{\Sigma}^1_n$ con $n > 3$?
• ¿Y si en lugar de eso trabajamos en $\mathsf{ZFC}$ + grandes cardinales?

Answer 1

La situación es un poco más complicada de lo que podrías esperar debido a los fenómenos de periodicidad en la jerarquía proyectiva. Para $n$ impar, asumiendo $\mathbf{\Delta}^1_{n-1}$-determinación, el conjunto $Q_n$ de números reales que son $\Delta^1_n$ en un ordinal numerable es $\Pi_n^1$ definible, por lo que su complemento es un conjunto $\Sigma_n^1$ que no tiene elementos en ningún modelo interno con un buen wellorder de $\Delta^1_n$. Por lo tanto, ningún modelo es $\Sigma_n^1$-correcto.

El conjunto $Q_n$ es el conjunto de reales en $M_{n-2}$, el modelo interno mínimo con $n-2$ cardinales de Woodin, que sí tiene un buen wellorder de $\Delta^1_n$ de los reales. La unión de todos los conjuntos $\Sigma^1_n$ numerables va a ser el conjunto de todos los reales $\Delta^1_n$ por el teorema del conjunto perfecto efectivo, por lo que $M_{n-2}$ va a satisfacer la versión del teorema del conjunto perfecto que deseas. Pero realmente este no es exactamente el teorema correcto, creo, ya que $Q_n$ es $\Pi^1_n$ y no $\Sigma^1_n$. Por otro lado, hay un conjunto $\Pi^1_n$ numerable más grande (analogo al conjunto $\Pi^1_1$ numerable más grande, los mastercodes de $L$), pero este es en realidad estrictamente más grande que $Q_n$.

Por otro lado, si no hay ningún modelo interno con un cardinal de Woodin y cada conjunto tiene un sharp, entonces el modelo central $K$ es $\Sigma^1_3$-correcto y tiene un buen wellorder de $\Delta^1_3$. Bueno, no estoy seguro si esto ha sido probado en tal generalidad, la versión que conozco asume que hay un cardinal mensurable. Quizás un experto pueda completar esta información.

Para los niveles pares, bajo suposiciones de grandes cardinales, la situación debería ser muy similar a la de $L$, así que probablemente exactamente lo que deseas es cierto. Creo que esto no se puede hacer sin algunas suposiciones de grandes cardinales, o realmente suposiciones de determinación/existencia de mouse. Me estoy cansando un poco de escribir por ahora, espero actualizar más tarde.

Algunas referencias: "Modelos internos bien ordenados proyectivamente" de Steel, "Definibilidad ordinal en modelos de determinación" de Steel, "Problema de la iterabilidad del modelo central" de Steel (para la corrección de $K$), "Introducción a la teoría Q" de Kechris-Martin-Solovay.