Envoltura convexa de permutaciones cíclicas

Question

Se sabe que la envoltura convexa de las matrices de permutación da como resultado exactamente las matrices estocásticas. Estoy interesado en la envoltura convexa de las matrices de permutación cíclicas. Trivialmente, esto es un subconjunto de las matrices estocásticas, pero ¿qué más sabemos sobre la relación con la envoltura convexa de todas las permutaciones?

Mi intuición sería que la envoltura convexa de las permutaciones cíclicas es estrictamente más pequeña, ¿pero es esto cierto? ¡Todavía no he encontrado un ejemplo que lo demuestre!

Si es estrictamente más pequeña, ¿podemos decir algo sobre esas matrices estocásticas dentro del "cono cíclico"? Parece que deberían tener alguna propiedad común, ¡pero no puedo señalarla o encontrar literatura al respecto!

Answer 1

La envolvente convexa (no cónica) de las matrices de permutación es el conjunto de matrices doblemente estocásticas. La envolvente convexa de las matrices de permutación cíclicas es el conjunto de matrices cíclicas doblemente estocásticas. Es decir, se pueden expresar de la siguiente manera:

$$ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ a_n & a_1 & & a_{n-1} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_2 & a_3 & \ldots & a_1 \end{bmatrix}, \quad a_1 + a_2 \ldots + a_n = 1, \quad a_i \ge 0. $$

Esto debería estar claro ya que las matrices de permutación cíclicas son matrices cíclicas, y las matrices cíclicas forman un espacio lineal. (Cualquier combinación lineal de matrices de permutación cíclicas debe ser una matriz cíclica.)