La intersección de cocientes de posiblemente subgrupos distintos es o bien vacía o un coset de la intersección entre los dos subgrupos

Question

Sea $G$ un grupo y $H \leq G, K \leq G$.

La intersección de dos coclases izquierdas (una de $H$ y la otra de $K$) es o bien vacía o bien una coclase de $H\cap K$

Estoy teniendo dificultades para demostrar esto de una buena manera.

Sabemos que, si $G$ es un grupo y $H \leq G, K \leq G$ entonces $(H\cap K) \leq G$. Consideremos $H\cap K$ y alguna coclase $a(H\cap K)$ de $H\cap K$ para un $a\in G$ arbitrario

Si $x \in a(H\cap K) \implies x =ab,$ para algún $b \in H\cap K \implies x \in aH$ y $x \in aK \implies x \in aH\cap aK $. Pero eso no es lo que quiero, ¿verdad? ¿O esta implicación puede hacerse también en la dirección opuesta?

Un pensamiento es dividirlo en casos.

1. $H\cap K = \{e \}$, donde e es la identidad.
2. $H = K$ o $H \subset K$ o $K \subset H$ o $H\cap K \neq \{e \}$. Pero no estoy seguro si esto me llevaría a alguna parte?

Si quiero probar que la intersección debe ser vacía no estoy seguro por dónde empezar. Quiero asumir que algún $x\in G$ está contenido en la intersección de dos coclases y luego tal vez derivar que debe estar vacío.

¿Debería entonces tomar $x \in aH\cap aK $ o $x \in aH\cap bK $ donde $a,b$ pueden ser distintos o no?

Si tomo $x \in aH\cap aK $ entonces $x = ah, h\in H$ y $x = ak, k\in K \implies x = ah = ak \implies h = k$. Y estoy atascado.

Si tomo $x \in aH\cap bK $ entonces $x = ah, h\in H$ y $x = bk, k\in K \implies x = ah = bk \implies a^{-1}bk \in H$ Y también estoy atascado aquí.

¿Alguna pista sobre cómo resolver esto?

Answer 1

$a$ y $b$ no necesariamente deben ser iguales. Tienes que demostrar que la intersección entre un coseto izquierdo $aH$ de $H$ y un coseto izquierdo $bK$ de $K$ es un coseto izquierdo de $H \cap K$, es decir $aH \cap bK = c(H \cap K)$ para algún $c \in G$.

Como insinuaste, supongamos que $aH \cap bK \neq \emptyset$ y deja que $x \in aH \cap bK$. Entonces $x = ah = bk$ para algunos $h \in H$, $k \in K$ y $h = a^{-1}x$, $k = b^{-1}x$. Ahora vamos a demostrar que $aH = xH$. Sea $g \in aH$, entonces $$g = ah' = xh^{-1}h' \in xH$$

para algún $h' \in H$.

Por otro lado, si $g \in xH$, entonces $$g = xh' = ahh' \in aH$$ para algún $h' \in H$.

De manera similar, tenemos $bK = xK$.

Por lo tanto (¡explica por qué!) $aH \cap bK = xH \cap xK = x(H \cap K)$.

Answer 2

La respuesta de dani_s tiene un error tipográfico en el segundo párrafo. Debería decir $a=xh^{-1}, b=xk^{-1}$ en lugar de ($h=xa^{-1}$ sería incorrecto sin asumir un grupo abeliano).

También se puede acortar la sección intermedia de la prueba: $$aH=xh^{-1}H=x(h^{-1}H)=xH \quad\text{since }h^{-1} \in H$$ y $$bK=xk^{-1}K=x(k^{-1}K)=xK \quad\text{since }k^{-1} \in K.$$