¿Podemos encontrar una forma cerrada para esta suma infinita?
$$\sum_{k=1}^\infty{_{0}F_1}(;2;-kx)$$
Esto surge del problema de encontrar una forma cerrada para
$$\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{\zeta\left(2k\right)}{\left(2k\right)!}h^{2k-1}.$$
Aquí estaba mi proceso. Comenzar con la forma especial de la fórmula de Euler-Maclaurin.
$$ \begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{h^{2k-1}B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right) &=\sum_{k=1}^n f(kh+a)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{2}\right) \\&-\frac{1}{h}\int_a^b f(t)dt \\&-R \end{align} $$
donde $h=\frac{b-a}{n}$. Sin embargo, $h$ se vuelve no restringido si permitimos que $b\to\infty$ y $n\to\infty$. También podemos limitar $a\to 0$ para simplificar las cosas.
Considerar las Funciones de Bessel $J_n(x)$ y calcular mediante series de Taylor
$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{d^m}{dx^m}J_0\left(2\sqrt{x}\right)=\frac{(-1)^m}{m!}.$$
Luego tenemos
$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\frac{J_1\left(2\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}{_{0}F_1(;2;-x)}=\frac{(-1)^m}{m!}$$
y
$$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{d^m}{dx^m}{_{0}F_1(;2;-x)}=0.$$
Luego, dado que
$$\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}=(-1)^{k-1}\zeta(2k),$$
la fórmula de Euler-Maclaurin produce
$$ \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{\zeta\left(2k\right)}{\left(2k\right)!}h^{2k-1} &=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2h}+\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{J_1\left(2\sqrt{2\pi hk}\right)}{\sqrt{2\pi hk}}\\ &=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2h}+\pi\sum_{k=1}^{\infty}{_{0}F_1(;2;-2\pi hk)} \end{align}. $$
