Comprendiendo la prueba para la suma de límites

Question

El teorema para la suma de límites:

$\lim_{x \to a}[f(x)\ \pm\ g(x) ] = \lim_{x \to a}f(x)\ \pm\ \lim_{x \to a}g(x) = K + L$

a menudo se prueba utilizando la idea de hacer que el módulo de las funciones menos los límites sea menor que $\frac{}{2}$:

$|f(x) - L| < \frac{}{2}$,

Entiendo que hacer esto es aceptable ya que no estamos trabajando con números per se, sino con números constantemente más pequeños, pero esta idea parece un poco inestable. ¿Por qué se nos permite simplemente obtener un valor de $\delta_{1}$ y $\delta_{2}$ con el correspondiente $\frac{}{2}$ y luego simplemente sumarlos para obtener un todo sin cambiar la parte izquierda de la desigualdad?

Answer 1

Elige $\delta$ para que sea el mínimo entre $\delta_1$ y $\delta_2$. Esta elección de $\delta$ depende únicamente de $\epsilon$, y asegura que tanto $|f(x)-L| < \epsilon/2$ como $|g(x)-K| < \epsilon/2$ se cumplan cuando $|x-a| < \delta$. Luego, la desigualdad triangular garantiza que $|f(x)+g(x)-(L+K)| \le |f(x)-L| + |g(x)-K| < \epsilon / 2 + \epsilon / 2= \epsilon$.